Reduced order methods for PDEs : a comparison between proper orthogonal decomposition and proper generalized decomposition

Despite the progressive improvements in terms of simulation capabilities and techniques, some challenging problems still remain infeasible, or at least too much expensive, in most of the real world applications. Many techniques were developed in the last decades in order to reduce the computational costs, such as the Reduced Basis (RB) or the Proper Orthogonal Decomposition (POD) method. In this thesis a third technique, known as Proper Generalized Decomposition (PGD) method, is analysed as an alternative Reduced Order Modelling (ROM) technique. The PGD method is based on the assumption of separability for the unknown field, and it has demonstrated its capability in dealing with high dimensional problems. In particular, it represents a highly-performing method in the context of an offline-online splitting scheme, without the necessity of an \emph{a priori} knowledge of the solution. It allows to compute, once and for all, a general convolution solution of a multidimensional framework offline -- where model parameters can be set as extra-coordinates -- and then to evaluate a new solution online -- for new specific values of the coordinates, physical or parameters -- at very low computational cost, achievable even on average performance platforms.

Malgrado i progressivi sviluppi in termini di capacit\`{a} computazionali di simulazioni e delle relative tecniche di approssimazione, alcuni problemi complessi rimangono ancora irrisolvibili o troppo costosi nella maggioranza delle applicazioni realistiche. Molte tecniche numeriche sono state sviluppate negli ultimi decenni al fine di ridurre il costo computazionale, come il metodo Reduced Basis (RB) o Proper Orthogonal Decomposition (POD). In questo lavoro di tesi un terzo metodo, noto in letteratura come Proper Generalized Decomposition (PGD), viene analizzato come tecnica alternativa di Reduced Order Modelling (ROM). Il metodo PGD si basa sull'assuzione di separabilit\`{a} del campo incognito, e ne sono state dimostrate le potenzialit\`{a} nell'ambito di problemi ad alta dimensionalit\`{a}. Ne risulta un metodo molto performante in un contesto di separazione offline-online dello schema numerico, senza avere la necessit\`{a} di una conoscienza \emph{a priori} della soluzione. Il metodo PGD permette di calcolare, una volta sola, offline una soluzione di convoluzione generale di un problema nel contesto multidimensionale -- dove i parametri del modello sono visti come coordinate extra -- e di valutare poi una nuova soluzione online -- per specifici valori delle coordinate, siano esse fisiche, temporali o parametri -- in tempo reale a basso costo, anche mediante l'utilizzo di piattaforme a medie prestazioni.