Mathematics of phase separation: nonlocal interactions, multi-component systems, evolving surfaces

The present doctoral dissertation deals with the mathematical analysis of some phase-field systems modeling phase separation phenomena. Phase separation has been identified in many processes, from binary alloys for industrial purposes to Cell Biology. In particular, liquid-liquid phase separation has become a sort of paradigm to explain the formation of condensates in living cells, as well as to model the liquid behavior of the components of cell membranes, like phospholipids. In the phase-field models the interface separating two fluids is assumed to be a non-zero thickness region (diffuse interface). Therefore, the choice of the free energy, penalizing concentration variations mainly appearing at the diffuse interface, assumes a role of primary importance. Motivated by the classical literature, in this contribution we study both local models, generating from the Ginzburg-Landau free energy, and nonlocal models, in which the Helmholtz free energy additionally accounts for more generic long-range interactions. This dissertation is divided into three parts. In the first one we analyze some nonlocal phase-field models for binary mixtures on fixed bounded domains, especially focusing on the analysis of a diffuse interface model for the motion of two globally immiscible, incompressible, viscous fluids with different densities and viscosities, i.e., the so-called nonlocal Abels-Garcke-Grün system. In the second part, motivated by the experimental evidence that the liquid-liquid phase separation in living cells involves mixtures composed by more than two fluid species, we concentrate on the mathematical analysis of multi-component local phase-field models on fixed bounded domains. In the third and last part of this dissertation, led by the growing interest in phase separation phenomena on elastic cell membranes, we study some local phase-field systems for binary mixtures on evolving closed surfaces. The evolution of the surface is a priori prescribed, and represents the evolution in time, for instance, of an elastic membrane. The common ingredient in our investigation is the adoption of the physically relevant logarithmic free energy density. This allows to show the existence of physical solutions, meaning that the order parameter, which in binary mixtures corresponds to the difference of concentrations, gets only physically consistent values. As a drawback, handling the logarithmic potential is much harder compared to the choice of more regular functions. The main results presented here are mostly related to the existence of strong solutions, the regularization of weak solutions and the study of their longtime behavior. In particular, the leitmotif of most of the results is the validity of the so-called strict separation property. This means that the order parameter stays eventually (or even instantaneously) uniformly away from the pure phases, which is essential to achieve higher-order regularity for the order parameter itself, as well as for the study of its asymptotic behavior. Let us now present a brief summary of the main results in this dissertation. First, the nonlocal Cahn-Hilliard equation for binary mixtures on fixed three-dimensional domains is studied. By means of the De Giorgi iteration scheme we establish the validity of the instantaneous strict separation property, extending for the first time the known result in dimension two. This allows to achieve higher-order regularity for the solutions and to prove that any weak solution converges to a single equilibrium. We then study the nonlocal Abels-Garcke-Grün system, by first proving the existence of global strong solutions in two-dimensional bounded domains and their uniqueness when the initial datum is strictly separated from the pure phases. Secondly, we show that any weak solution, whose existence was already known, instantaneously regularizes and converges towards a stationary solution as $t\to+\infty$. Furthermore, we demonstrate the continuous dependence of strong solutions with respect to general (not necessarily separated) initial data in the case of matched densities and unmatched viscosities. About the multi-component phase-field models, we prove well-posedness and regularity results for the solutions to the multi-component local Cahn-Hilliard equation, generalizing the ones obtained by Elliott and Luckhaus in 1991. In particular, we prove the instantaneous uniform strict separation of solutions in two-dimensional fixed bounded domains. Then, we prove the existence of a global (regular) attractor and we establish the convergence of each trajectory to a single equilibrium also for three-dimensional bounded domains. Furthermore, we obtain analogous results for the multi-component conserved Allen-Cahn equation. In this case, by means of De Giorgi's iterations, we are able to show for the first time the validity of the instantaneous separation property also in dimension three, under some natural assumptions on the mobility matrix. Based upon this result, we additionally show the existence of an exponential attractor in both two and three dimensions. In conclusion, some two-phase local Cahn-Hilliard type equations on evolving two-dimensional closed surfaces are considered. We prove some regularization properties of weak solutions in finite time, allowing us to show the validity of the strict separation property from pure phases.

La presente tesi di dottorato si occupa dell'analisi matematica di alcuni sistemi a campo di fase che modellano i fenomeni di separazione di fase. La separazione di fase è stata identificata in molti processi, dalle leghe binarie per scopi industriali alla biologia cellulare. In particolare, la separazione di fase liquido liquido è diventata una sorta di paradigma per spiegare la formazione di condensati nelle cellule viventi, ma anche per modellare il comportamento liquido dei componenti delle membrane cellulari, come i fosfolipidi. Nei modelli a campo di fase si assume che l'interfaccia che separa i due fluidi sia un'area di spessore non nullo (interfaccia diffusa). La scelta dell'energia libera, che penalizza le variazioni di concentrazione che si manifestano principalmente all'interfaccia diffusa, assume dunque un ruolo di primaria importanza. Motivati dalla letteratura classica, in questa tesi studiamo sia modelli locali, originati a partire dall'energia libera di Ginzburg-Landau, sia modelli non locali, in cui l'energia libera di Helmholtz tiene conto anche delle più generiche interazioni a lungo raggio. Questa tesi è divisa in tre parti. Nella prima si analizzano alcuni modelli non locali a campo di fase per fluidi binari su domini fissi limitati, concentrandosi in particolare sull'analisi di un modello a interfaccia diffusa per il moto di due fluidi viscosi globalmente immiscibili e incomprimibili, con densità e viscosità diverse, cioè il cosiddetto modello non locale di Abels-Garcke-Grün. Nella seconda parte, motivati dall'evidenza sperimentale che la separazione di fase liquido-liquido nelle cellule viventi coinvolge miscele composte da più di due specie di fluidi, ci si concentra sull'analisi matematica di modelli a campo di fase locale multi-componente su domini fissi limitati. Nella terza e ultima parte di questa tesi, guidati dal crescente interesse per i fenomeni di separazione di fase che si osservano sulle membrane cellulari elastiche, si studiano alcuni sistemi locali a campo di fase per miscele binarie su superfici chiuse in evoluzione. L'evoluzione della superficie è prescritta a priori, e rappresenta l'evoluzione nel tempo, per esempio, di una membrana elastica. Il tema comune della nostra indagine è l'utilizzo della densità di energia libera logaritmica, fisicamente rilevante. Questo consente di dimostrare l'esistenza di soluzioni fisiche, nel senso che il parametro d'ordine, corrispondente, nelle miscele binarie, alla differenza di concentrazione, assume solo valori fisicamente coerenti. Come inconveniente, la gestione del potenziale logaritmico è molto più complessa rispetto alla scelta di funzioni più regolari. I risultati principali della presente dissertazione riguardano essenzialmente l'esistenza di soluzioni forti, la regolarizzazione delle soluzioni deboli e lo studio del loro comportamento asintotico. In particolare, il leitmotif della maggior parte dei risultati è la validità della cosiddetta proprietà di separazione stretta. Questo significa che il parametro d'ordine rimane asintoticamente (o persino istantaneamente) uniformemente lontano dalle fasi pure, proprietà essenziale per ottenere una regolarità di ordine superiore per il parametro d'ordine stesso, così come per lo studio del suo comportamento asintotico. Presentiamo ora un breve riassunto dei principali risultati di questa tesi. Per prima cosa, viene studiata l'equazione di Cahn-Hilliard non locale per miscele binarie su domini tridimensionali fissi. Mediante lo schema delle iterazioni di De Giorgi si stabilisce la validità della proprietà di separazione stretta istantanea, estendendo per la prima volta il risultato noto solo in dimensione due. Questo consente di ottenere una regolarità di ordine superiore per le soluzioni e di dimostrare che ogni soluzione debole converge a un unico equilibrio. Studiamo poi il sistema non locale di Abels-Garcke-Grün, dimostrando innanzitutto l'esistenza di soluzioni forti globali in domini bidimensionali limitati e la loro unicità quando il dato iniziale è strettamente separato dalle fasi pure. In secondo luogo, mostriamo che qualsiasi soluzione debole, la cui esistenza era già nota, regolarizza istantaneamente e converge a una soluzione stazionaria quando $t\to+\infty$. Inoltre, dimostriamo la dipendenza continua delle soluzioni forti rispetto a dati iniziali generali (non necessariamente separati) nel caso di densità uguali e viscosità differenti. Per quanto riguarda i modelli a campo di fase multi-componente, mostriamo risultati di buona positura e regolarità per le soluzioni dell'equazione di Cahn-Hilliard locale multi-componente, generalizzando quelli ottenuti da Elliott e Luckhaus nel 1991. In particolare, dimostriamo la separazione stretta uniforme istantanea delle soluzioni in domini fissi bidimensionali limitati. Dimostriamo poi l'esistenza di un attrattore globale (regolare) e stabiliamo la convergenza di ogni traiettoria a un singolo equilibrio anche per domini tridimensionali limitati. Inoltre, otteniamo risultati analoghi per l'equazione di Allen-Cahn multi-componente conservata. In questo caso, grazie alle iterazioni di De Giorgi, siamo in grado di mostrare, per la prima volta, la validità della proprietà di separazione istantanea anche in dimensione tre, sotto alcune naturali ipotesi sulla matrice di mobilità. Sulla base di questo risultato, dimostriamo inoltre l'esistenza di un attrattore esponenziale sia in due che in tre dimensioni. In conclusione, vengono considerate alcune equazioni locali di tipo Cahn-Hilliard a due fasi su superfici chiuse bidimensionali in evoluzione. Dimostriamo alcune proprietà di regolarizzazione delle soluzioni deboli in tempo finito, che ci permettono di mostrare la validità della proprietà di separazione stretta dalle fasi pure.