The present dissertation focuses on the mathematical analysis of several deterministic and stochastic diffuse interface models. These systems provide a significant understanding of phase separation phenomena occurring in complex materials such as binary alloys, multicomponent fluid mixtures or polymer blends. The term diffuse interface refers to the fact that the interface between two different species is modeled as a region with positive thickness. After illustrating the preliminary material in Chapters 1 and 2, the main contributions contained in this dissertation are presented in two parts: the first deals with deterministic models, while the second is devoted to stochastic ones. However, in all the models discussed, we aim to work within the physical framework. Indeed, if the energy functional of the system is thermodynamically consistent, then it is possible to show that a solution carries physical meaning (i.e., that it takes values in a physically admissible range). The main method to achieve this goal involves modeling the potential energy of the system through a function whose derivatives establish potential barriers. Indeed, this approach ensures that any solution with finite energy must be confined within them. The first part of the dissertation contains the following contributions. In Chapter 3, we examine a system for electrically responsive polymer mixtures. In particular, we are interested in blends between a diblock copolymer and a homopolymer acting as solvent. The phase separation occurring between copolymer and homopolymer, as well as the one between the two blocks of the copolymer, allows the self-assembling of ordered structures at the mesoscopic level, that also turn out to be useful in the development of nanotecnologies. In this model, Maxwellian interactions play a significant role, as the application of external electric fields is one of the primary methods to induce pattern formation. Chapter 4 illustrates, in a slightly different setting, the other side of Maxwellian interactions. Therein, we consider a model describing magnetically responsive complex fluids, accounting for hydrodynamic effects and fluid-fluid interactions. The last deterministic system, analyzed in Chapter 5, models a ternary system where two fluids are blended with a surfactant. These substances are able to reduce the interfacial tension between different fluids and allow the mixing of normally immiscible fluids (e.g., water and oil). In the aforementioned models, the recurring mathematical challenges concern the existence of weak and strong solutions, their uniqueness and regularity properties, as well as their asymptotic behavior. The second part of the dissertation contains two last contributions on stochastic diffuse interface models. As the literature on the topic is still in its early stages of development, fundamental problems as existence and uniqueness of solutions are open even for models whose deterministic version is widely understood. In Chapter 6, a coupled stochastic Navier-Stokes-Allen-Cahn system is analyzed. This can be regarded as a second-order relaxation of one of the prototypical diffuse interface models, i.e., the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system. The stochastic approach allows, contrary to the deterministic counterpart, to take into account unpredictable phenomena of thermal nature happening at the microscopic scale. However, stochastic models do not ensure a strong mass conservation property, which is instead a key feature of certain physical systems. In order to recover it, it is possible to fine tune the choice of the random noise, although rendering the mathematical analysis more challenging. The effect of conservative noise on the Cahn-Hilliard and the Allen-Cahn systems is the subject of Chapter 7.

La presente tesi si concentra sull'analisi matematica di diversi modelli deterministici e stocastici ad interfaccia diffusa. Questi sistemi forniscono una buona descrizione dei fenomeni di separazione di fase che si verificano in materiali complessi come leghe binarie, miscele fluide multicomponenti o miscugli polimerici. La denominazione interfaccia diffusa si riferisce al fatto che l'interfaccia tra due specie diverse è considerata una regione di spazio con spessore finito. Dopo aver illustrato il materiale preliminare nei Capitoli 1 e 2, i principali contributi contenuti in questa tesi sono presentati in due parti: la prima tratta i modelli deterministici, mentre la seconda è dedicata a quelli stocastici. Tuttavia, in tutti i modelli discussi, ci proponiamo di lavorare all'interno del quadro fisico. Infatti, se il funzionale energia del sistema è termodinamicamente consistente, allora è possibile dimostrare che una soluzione ha significato fisico (ovvero che assume valori fisicamente ammissibili). Il metodo principale per raggiungere questo obiettivo consiste nel modellizzare l'energia potenziale del sistema attraverso una funzione le cui derivate presentano barriere di potenziale. Infatti, questo approccio garantisce che qualsiasi soluzione con energia finita sia confinata all'interno di tali barriere. Presentiamo ora i contributi contenuti nella prima parte di questa tesi. Nel Capitolo 3, esaminiamo un modello per miscele polimeriche elettricamente reattive. In particolare, siamo interessati a miscele formate da copolimeri a due blocchi e da un omopolimero che funge da solvente. La separazione di fase che avviene tra copolimero e omopolimero, così come quella tra i due blocchi del copolimero, permette l'autoassemblaggio di strutture ordinate a livello mesoscopico che si rivelano utili anche nello sviluppo di nanotecnologie. In questo modello, le interazioni maxwelliane giocano un ruolo significativo, in quanto l'applicazione di campi elettrici esterni è uno dei metodi principali per indurre la formazione di pattern. Il Capitolo 4 illustra, in un contesto leggermente diverso, l'altra faccia delle interazioni maxwelliane. In esso si considera un modello che descrive fluidi complessi magneticamente reattivi, tenendo conto degli effetti idrodinamici e delle interazioni tra fluidi diversi. Infine, l'ultimo sistema deterministico, analizzato nel Capitolo 5, descrive un sistema ternario in cui due fluidi sono mescolati con un tensioattivo. Questo tipo di sostanze è in grado di ridurre la tensione interfacciale tra fluidi diversi e di consentire il mescolamento di fluidi normalmente immiscibili (ad esempio, acqua e olio). Nei modelli sopra menzionati, i problemi matematici ricorrenti riguardano l'esistenza di soluzioni deboli e forti, le loro proprietà di unicità e regolarità, nonché il loro comportamento asintotico. La seconda parte della tesi contiene due ultimi contributi sui modelli stocastici ad interfaccia diffusa. Poiché la letteratura sull'argomento è ancora nelle prime fasi di sviluppo, problemi fondamentali come esistenza e unicità di soluzioni sono aperti anche per modelli la cui versione deterministica è ampiamente compresa. Nel Capitolo 6 viene analizzato un sistema stocastico accoppiato di tipo Navier-Stokes-Allen-Cahn. Tale modello può essere considerato un rilassamento del secondo ordine di uno dei modelli prototipici ad interfaccia diffusa, ossia il sistema di Navier-Stokes-Cahn-Hilliard. L'approccio stocastico permette, contrariamente alla controparte deterministica, di tenere conto di fenomeni non prevedibili di natura termica che avvengono alla scala microscopica. Tuttavia, i modelli stocastici non garantiscono la proprietà di conservazione della massa, che è invece una caratteristica fondamentale di alcuni sistemi fisici. Per recuperarla, è possibile regolare la scelta del rumore stocastico, rendendo però l'analisi matematica più impegnativa. L'effetto del rumore conservativo sui sistemi di Cahn-Hilliard e Allen-Cahn è oggetto del Capitolo 7.

Deterministic and stochastic analysis of some diffuse interface models

Di PRIMIO, ANDREA
2023/2024

Abstract

The present dissertation focuses on the mathematical analysis of several deterministic and stochastic diffuse interface models. These systems provide a significant understanding of phase separation phenomena occurring in complex materials such as binary alloys, multicomponent fluid mixtures or polymer blends. The term diffuse interface refers to the fact that the interface between two different species is modeled as a region with positive thickness. After illustrating the preliminary material in Chapters 1 and 2, the main contributions contained in this dissertation are presented in two parts: the first deals with deterministic models, while the second is devoted to stochastic ones. However, in all the models discussed, we aim to work within the physical framework. Indeed, if the energy functional of the system is thermodynamically consistent, then it is possible to show that a solution carries physical meaning (i.e., that it takes values in a physically admissible range). The main method to achieve this goal involves modeling the potential energy of the system through a function whose derivatives establish potential barriers. Indeed, this approach ensures that any solution with finite energy must be confined within them. The first part of the dissertation contains the following contributions. In Chapter 3, we examine a system for electrically responsive polymer mixtures. In particular, we are interested in blends between a diblock copolymer and a homopolymer acting as solvent. The phase separation occurring between copolymer and homopolymer, as well as the one between the two blocks of the copolymer, allows the self-assembling of ordered structures at the mesoscopic level, that also turn out to be useful in the development of nanotecnologies. In this model, Maxwellian interactions play a significant role, as the application of external electric fields is one of the primary methods to induce pattern formation. Chapter 4 illustrates, in a slightly different setting, the other side of Maxwellian interactions. Therein, we consider a model describing magnetically responsive complex fluids, accounting for hydrodynamic effects and fluid-fluid interactions. The last deterministic system, analyzed in Chapter 5, models a ternary system where two fluids are blended with a surfactant. These substances are able to reduce the interfacial tension between different fluids and allow the mixing of normally immiscible fluids (e.g., water and oil). In the aforementioned models, the recurring mathematical challenges concern the existence of weak and strong solutions, their uniqueness and regularity properties, as well as their asymptotic behavior. The second part of the dissertation contains two last contributions on stochastic diffuse interface models. As the literature on the topic is still in its early stages of development, fundamental problems as existence and uniqueness of solutions are open even for models whose deterministic version is widely understood. In Chapter 6, a coupled stochastic Navier-Stokes-Allen-Cahn system is analyzed. This can be regarded as a second-order relaxation of one of the prototypical diffuse interface models, i.e., the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system. The stochastic approach allows, contrary to the deterministic counterpart, to take into account unpredictable phenomena of thermal nature happening at the microscopic scale. However, stochastic models do not ensure a strong mass conservation property, which is instead a key feature of certain physical systems. In order to recover it, it is possible to fine tune the choice of the random noise, although rendering the mathematical analysis more challenging. The effect of conservative noise on the Cahn-Hilliard and the Allen-Cahn systems is the subject of Chapter 7.
CORREGGI, MICHELE
SABADINI, IRENE MARIA
8-feb-2024
Deterministic and stochastic analysis of some diffuse interface models
La presente tesi si concentra sull'analisi matematica di diversi modelli deterministici e stocastici ad interfaccia diffusa. Questi sistemi forniscono una buona descrizione dei fenomeni di separazione di fase che si verificano in materiali complessi come leghe binarie, miscele fluide multicomponenti o miscugli polimerici. La denominazione interfaccia diffusa si riferisce al fatto che l'interfaccia tra due specie diverse è considerata una regione di spazio con spessore finito. Dopo aver illustrato il materiale preliminare nei Capitoli 1 e 2, i principali contributi contenuti in questa tesi sono presentati in due parti: la prima tratta i modelli deterministici, mentre la seconda è dedicata a quelli stocastici. Tuttavia, in tutti i modelli discussi, ci proponiamo di lavorare all'interno del quadro fisico. Infatti, se il funzionale energia del sistema è termodinamicamente consistente, allora è possibile dimostrare che una soluzione ha significato fisico (ovvero che assume valori fisicamente ammissibili). Il metodo principale per raggiungere questo obiettivo consiste nel modellizzare l'energia potenziale del sistema attraverso una funzione le cui derivate presentano barriere di potenziale. Infatti, questo approccio garantisce che qualsiasi soluzione con energia finita sia confinata all'interno di tali barriere. Presentiamo ora i contributi contenuti nella prima parte di questa tesi. Nel Capitolo 3, esaminiamo un modello per miscele polimeriche elettricamente reattive. In particolare, siamo interessati a miscele formate da copolimeri a due blocchi e da un omopolimero che funge da solvente. La separazione di fase che avviene tra copolimero e omopolimero, così come quella tra i due blocchi del copolimero, permette l'autoassemblaggio di strutture ordinate a livello mesoscopico che si rivelano utili anche nello sviluppo di nanotecnologie. In questo modello, le interazioni maxwelliane giocano un ruolo significativo, in quanto l'applicazione di campi elettrici esterni è uno dei metodi principali per indurre la formazione di pattern. Il Capitolo 4 illustra, in un contesto leggermente diverso, l'altra faccia delle interazioni maxwelliane. In esso si considera un modello che descrive fluidi complessi magneticamente reattivi, tenendo conto degli effetti idrodinamici e delle interazioni tra fluidi diversi. Infine, l'ultimo sistema deterministico, analizzato nel Capitolo 5, descrive un sistema ternario in cui due fluidi sono mescolati con un tensioattivo. Questo tipo di sostanze è in grado di ridurre la tensione interfacciale tra fluidi diversi e di consentire il mescolamento di fluidi normalmente immiscibili (ad esempio, acqua e olio). Nei modelli sopra menzionati, i problemi matematici ricorrenti riguardano l'esistenza di soluzioni deboli e forti, le loro proprietà di unicità e regolarità, nonché il loro comportamento asintotico. La seconda parte della tesi contiene due ultimi contributi sui modelli stocastici ad interfaccia diffusa. Poiché la letteratura sull'argomento è ancora nelle prime fasi di sviluppo, problemi fondamentali come esistenza e unicità di soluzioni sono aperti anche per modelli la cui versione deterministica è ampiamente compresa. Nel Capitolo 6 viene analizzato un sistema stocastico accoppiato di tipo Navier-Stokes-Allen-Cahn. Tale modello può essere considerato un rilassamento del secondo ordine di uno dei modelli prototipici ad interfaccia diffusa, ossia il sistema di Navier-Stokes-Cahn-Hilliard. L'approccio stocastico permette, contrariamente alla controparte deterministica, di tenere conto di fenomeni non prevedibili di natura termica che avvengono alla scala microscopica. Tuttavia, i modelli stocastici non garantiscono la proprietà di conservazione della massa, che è invece una caratteristica fondamentale di alcuni sistemi fisici. Per recuperarla, è possibile regolare la scelta del rumore stocastico, rendendo però l'analisi matematica più impegnativa. L'effetto del rumore conservativo sui sistemi di Cahn-Hilliard e Allen-Cahn è oggetto del Capitolo 7.
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Descrizione: PhD thesis of A. Di Primio
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Utilizza questo identificativo per citare o creare un link a questo documento: https://hdl.handle.net/10589/216613