Multiphysics modeling based on nonlinear partial differential equations and finite element simulations : applications to ocular pharmacology and physiology

The aim of this master thesis is the application of theoretical and numerical mathematical models to the eye physiology. Parts I and II introduce the fundamental principles of continuum modeling and advanced mathematical and computational methods, respectively, which are the tools we use to tackle the applications presented in the following. We focus on two specific aspects of eye physiology, namely, a pharmacological problem related to the mathematical properties of the diffusion of a drug through the cornea (Part III) and the study of thermodynamic equilibrium of an aqueous-ionic solute inside the tear film (Part IV). In Part III, we model the drug as an electrically neutral mixture, whose concentration in the tear film-cornea interface is assumed to be constant in time (model for penetration kinetics of Rhodamine B) or to decay exponentially (model for in-vivo penetration kinetics). The solution procedure is based on a time discretization performed by the Backward Euler Method and a space discretization operated by the Finite Difference Method. In Part IV, we introduce the Velocity Extended Poisson-Nernst-Planck (VE-PNP) model based on the balance of mass and linear momentum for ions and water, as well as on the nonlinear Poisson equation for the electric field. In the application to the tear film, ions and water represent the tear film solution and the fixed charges represent the glycocalyx. The numerical solution of the VE-PNP model is obtained via functional iterations. After discretizing in time via a Backward Euler method and in space via a Finite Element method, the system is decoupled by a a generalization of the Gummel Map iteration commonly used in semiconductor device simulation. At each iteration step, the nonlinear Poisson equation is linearized by the Abstract Newton Method. Simulations conducted on the applications presented above have been successfully validated with experimental data and closed form solutions.

Lo scopo di questa tesi è l'applicazione di modelli matematici teorici e numerici alla fisiologia dell'occhio. Le Parti I e II introducono i principi fondamentali della modellistica del continuo e modelli matematici e computazionali avanzati che verranno utilizzati nelle applicazioni presentate in seguito. La tesi si focalizza su due aspetti specifici della fisiologia dell'occhio, ovvero, un problema farmacologico legato alle proprietà matematiche della diffusione di un farmaco attraverso la cornea (Parte III) e lo studio dell'equilibrio termodinamico di una soluzione acqueo-ionica all'interno del film lacrimale (Parte IV). Nella Parte III, il farmaco è modellato come una miscela elettricamente neutra, la cui concentrazione in corrispondenza dell'interfaccia tra film lacrimale e cornea è assunta costante nel tempo (modello per la cinetica di penetrazione della Rodamina B) oppure decadente esponenzialmente (modello per la cinetica di penetrazione in-vivo). Il processo di soluzione è basato su una discretizzazione temporale per mezzo del Metodo di Eulero all'Indietro (BEM) ed una discretizzazione spaziale per mezzo del Metodo delle Differenze Finite. Nella Parte IV, si introduce il modello di Poisson-Nernst-Planck esteso alla velocità (VE-PNP) basato sul bilancio di massa e momento lineare per gli ioni e l'acqua e sull'equazione di Poisson non lineare per il campo elettrico. Nell'applicazione al film lacrimale, gli ioni e l'acqua rappresentano la soluzione presente in esso e le cariche fisse rappresentano il glicocalice. La soluzione numerica del modello VE-PNP è ottenuta per mezzo di iterazioni funzionali. Dopo aver discretizzato nel tempo per mezzo del BEM e nello spazio per mezzo del Metodo agli Elementi Finiti, il sistema è disaccoppiato per mezzo di una generalizzazione del metodo iterativo di Gummel utilizzato comunemente nelle simulazioni su materiali semiconduttori. Ad ogni passo dell'iterazione, l'equazione non lineare di Poisson è linearizzata attraverso il Metodo di Newton Astratto. Le simulazioni condotte per le applicazioni sopra descritte sono state validate con successo attraverso il confronto con risultati sperimentali e soluzioni in forma chiusa.