Weighted functional inequalities and nonlinear diffusions of porous medium type

The main topic of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of solutions to certain nonlinear diffusion equations, whose most important models are the porous medium equation and the fast diffusion equation. In the first chapter we analyse in detail the connections between Lp smoothing and decay properties of weighted versions of the porous medium equation and the validity of suitable functional inequalities involving the weights. In the second chapter we investigate the asymptotics of the solutions to the fractional porous medium equation with power-type weights: this is strictly linked with a similar fractional parabolic problem having as initial datum a positive finite measure, which we study separately. The third chapter is mostly devoted to the characterization of the optimal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg interpolation inequalities: it turns out that if the power of the weight that appears in the Lp norms is small enough, then such optimal functions are radial. As a consequence, solutions to the Euclidean fast diffusion equation with the same power weight converge towards special solutions of Barenblatt type with an optimal rate, at least for m larger than a suitable critical value. In the fourth and last chapter we consider the fast diffusion equation on hyperbolic space: the most important result we obtain, for m close to one, is the convergence of radial solutions, as t tends to the extinction time, to a separable solution in the uniform norm of the relative error.

L'argomento principale di questa tesi è lo studio del comportamento asintotico delle soluzioni di alcune equazioni non-lineari di diffusione, i cui modelli di riferimento principali sono l'equazione dei mezzi porosi e l'equazione della diffusione veloce. Nel primo capitolo analizziamo in dettaglio le connessioni tra proprietà regolarizzanti e asintotiche di tipo Lp per varianti pesate dell'equazione dei mezzi porosi e la validità di opportune disuguaglianze funzionali che coinvolgono i pesi. Nel secondo capitolo studiamo l'asintotica delle soluzioni dell'equazione dei mezzi porosi frazionaria con pesi di tipo potenza: ciò è strettamente legato ad un analogo problema parabolico frazionario avente una misura positiva finita come dato iniziale, il quale viene studiato separatamente. Il terzo capitolo è principalmente dedicato alla caratterizzazione delle funzioni ottimali per una famiglia di disuguaglianze d'interpolazione di Caffarelli-Kohn-Nirenberg: dimostriamo che, se la potenza del peso che appare nelle norme Lp è sufficientemente piccola, allora tali funzioni ottimali sono radiali. Come fondamentale conseguenza, le soluzioni dell'equazione della diffusione veloce Euclidea avente la stessa potenza come peso convergono verso soluzioni speciali di tipo Barenblatt con velocità ottimale, almeno per m più grande di un opportuno valore critico. Nel quarto ed ultimo capitolo analizziamo l'equazione della diffusione veloce sullo spazio iperbolico: il risultato più importante che otteniamo, per m vicino a uno, è la convergenza delle soluzioni radiali, quando t tende al tempo d'estinzione, a una soluzione a separazione di variabili nella norma uniforme dell'errore relativo.