Pricing di opzioni path dependent sotto dinamica time changed Lévy : approccio mediante trasformata di Hilbert

The goal of the thesis is the construction of accurate and efficient numerical algorithms for pricing discretely monitored path-dependent derivatives, in particular barrier, lookback and Bermudan style options, by applying the Fast Hilbert Transform method in the context of Lévy processes. These methods allow us to improve the performance in terms of computational cost obtainable through the use of Fourier Transform. The method relies on the connection between Hilbert and Fourier transforms, exploiting the efficient algorithm for the matrix-vector multiplication if Toeplitz matrices are considered. Besides the Lévy processes, it is possible to extend the Hilbert transform approach to the option pricing in time-changed Lévy framework. In this case the advantages of the method, as the exponential decay of the error with respect to the step size, are retained. Finally, these methods are suitable for credit risk applications. Specifically here the fair value of a firm under the dividend-ruin model with both embedded reflecting barrier, representing dividend distribution, and absorbing barrier, characterizing the default, is computed.

L'obiettivo della tesi è quello di costruire algoritmi numerici accurati ed efficienti per prezzare opzioni path-dependent a monitoraggio discreto, in particolare, opzioni barriera, opzioni lookback ed opzioni Bermuda, applicando il metodo della trasformata veloce di Hilbert nel contesto dei processi di Lévy. Questo metodo consente di migliorare le prestazioni in termini di costo computazionale ottenibili mediante il solo utilizzo della trasformata di Fourier.Il metodo si appoggia ai risultati della teoria che lega le trasformate di Hilbert e Fourier, rendendo le discretizzazioni molto semplici e si avvale dell'efficiente algoritmo di Toeplitz per la moltiplicazione matrice vettore. Oltre ai processi di Lévy, è possibile estendere l'approccio con trasformata di Hilbert anche al pricing di opzioni nel contesto dei processi time-changed Lévy. In questo caso, i vantaggi del metodo, come il decadimento esponenziale dell'errore in termini del passo della trasformata, restano validi. Infine, il metodo fornisce un framework per applicazioni al mondo del rischio di credito. Nello specifico si è qui calcolato il valore di un'azienda nel modello dividend-ruin con barriera riflettente, rappresentante l'erogazione dei dividendi, e assorbente, caratterizzante il default.