Parallel and multilevel techniques for hierarchical model reduction

Numerical and mathematical methods have become an essential tool for studying and understanding many pratical problems. If often happens that the phenomenon we want to study is quite complex and expensive from a computational viewpoint. Thus, it is important to develop particular methods which allow to achieve a good compromise between the computational saving and the accuracy of the solution. This is the goal of Hierarchical Model Reduction (HiMod), suitable for many engineering applications which feature dynamics with a dominant direction. It consists of a finite element discretization along the mainstream component coupled with a modal approximation of the transverse dynamics. The rationale is that we are able to capture the transverse dynamics with a few modal degrees of freedom. The result is an enhanced one-dimensional model, expected to improve the accuracy of a pure 1D model by avoiding computational cost of a full 3D simulation. In this thesis, we present a parallel version of HiMod applied to ADR problems in 3D domain with rectangular section. Our goal is to improve the performances of HiMod enhancing its effectiveness and competitiveness. Moreover, we introduce multilevel techniques that take advantage of the particular structure of the HiMod problem.

I modelli matematici e numerici sono diventati uno strumento fondamentale per studiare e comprendere molti problemi di interesse pratico, come, ad esempio, i fenomeni legati all’emodinamica, all’idrodinamica e ai motori a combustione interna. Accade spesso che il fenomeno in questione sia molto complesso e costoso dal punto di vista computazionale. Diventa cruciale, dunque, sviluppare metodi che permettano di raggiungere un buon compromesso fra l’affidabilità della soluzione e la riduzione dei costi computazionali della risoluzione. È proprio in questo contesto che si colloca la tecnica di Riduzione Gerarchica di Modello (HiMod), che si applica soprattutto in problemi con una direzione preferenziale. HiMod adotta lungo questa direzione una discretizzazione a elementi finiti e uno sviluppo in serie di Fourier generalizzato della soluzione lungo le direzioni trasversali, generando un problema 1D arricchito. Tale metodo permette di raggiungere risultati migliori di un modello ridotto monodimensionale evitando i costi di una risoluzione 3D. In questa tesi, presentiamo una versione parallela del metodo applicato a un problema ADR in un dominio 3D con sezione rettangolare. L'obiettivo è quello di migliorare le prestazioni di una simulazione HiMod aumentando la sua efficacia e competitività. Inoltre, presentiamo tecniche multilevel che traggono vantaggio dalla particolare struttura di un problema HiMod.