An adaptive discontinuous Galerkin spectral element method for systems of ordinary differential equations with applications to elastodynamics

The aim of this Master Thesis is to propose and analyze a new high order finite element method for the time integration of second order systems of ordinary differential equations. This kind of equations typically arise after the space semi-discretization of hyperbolic problems, e.g., wave equation, elastodynamics, acoustics. In this work, we develop a high order scheme based on the discontinuous Galerkin spectral element method (DGSE) for the time integration of such kind of systems. This approach allows us to combine the flexibility of the discontinuous Galerkin method with the high order accuracy of the spectral element technique. After introducing the method, we analyze its well-posedness and present an \text{a-priori} error estimate. Then, we assess its performance on both simplified test cases as well as on a problem of practical interest, namely to integrate the (second order) system of equations arising from the semi-discretization of the elastodynamics equation with a DGSE method. Our numerical computations have been obtained with the computational code SPEED (http://mox.polimi.it/it/progetti/speed/). Finally, we develop an adaptive technique to tune the local polynomial degree of the solution in every time interval and test this algorithm on some meaningful examples.

L'obiettivo di questa tesi di Laurea Magistrale è proporre e analizzare un metodo a elementi finiti per l'integrazione temporale di sistemi di equazioni differenziali del secondo ordine. Questo tipo di equazioni emergono dalla semi-discretizzazione spaziale di sistemi iperbolici del secondo ordine, e.g. l'equazione delle onde, l'elastodinamica e l'acustica. In questo lavoro sviluppiamo uno schema di integrazione temporale basato sul metodo di Galerkin discontinuo a elementi spettrali (DGSE). Questo approccio permette di combinare un'alta flessibilità, tipica del metodo di Galerkin discontinuo (DG), con l'alto ordine di accuratezza degli elementi spettrali. Introdotto il metodo, analizziamo la sua buona posizione e forniamo una stima a priori dell'errore. Vengono quindi testate le sue performance su dei casi test e su un caso di interesse pratico, in cui il sistema di equazioni differenziali ordinarie emerge dalla semi-discretizzazione spaziale, anch'essa eseguita con un metodo DGSE, della equazione dell'elastodinamica. I risultati numerici che riportiamo provengono dal software SPEED (http://mox.polimi.it/it/progetti/speed/). Infine, sviluppiamo una tecnica di adattività per calibrare il grado polinomiale utilizzato localmente in ogni intervallo temporale e testiamo questo algoritmo su esempi di interesse.