Modeling nonLinear circuits with multi-port elements in the wave digital domain

Thanks to their inherent stability and robustness, Wave Digital Structures (WDS) are quite interesting for applications of Virtual Analog interactive modeling of nonlinear (NL) circuits. Many NL circuits, however, include multiple nonlinearities or multi-port nonlinearities, which cannot readily be accommodated by traditional WDS. One of the difficulties encountered in modeling multi-port NL elements (NLEs) is the solution of implicit equations which often bind together the ports variables. In this thesis we present two new classes of explicit models describing multi-port NLEs and the relative methods to derive them. The first class of explicit models is restricted to NLEs with exponential characteristics and it is obtained exploiting the properties of the Lambert function; a powerful mathematical tool that allows to find explicit solutions of many exponential trascendental equations, which are in implicit forms. We also propose a method for deriving wave mappings of single-port elements without doing calculations, if we dispose of equations in the Kirchhoff domain describing the element we want to model in series to a Thevènin equivalent. Thanks to this method we derive a new one-port model which describes a multi-exponential junction with multiple conduction mechanisms with a parallel bank of diodes. The second class of explicit models is more general, since it allows to describe generic multi-port NLEs that are obtained as the interconnection of linear and NL resistive bipoles, and it is derived using a method consisting in a Piece-Wise Linear (PWL) approximation of the individual nonlinearities that constitute the multi-port NLE. Our method generalizes the existing PWL solutions that are available in the literature as it enables the description of arbitrary interconnections between outer ports of the nonlinearity and individual ports of the local NL bipoles. Many practical examples of application of both the classes of explicit models are presented, including implementations of multi-port NLEs never appeared in the literature on WDFs, such as the ring modulator, the full wave rectifier and some configurations of BJT amplifiers.

Grazie alla loro intrinseca stabilità e robustezza, le Strutture d’Onda Digitali sono piuttosto interessanti per applicazioni interattive che modellano circuiti non lineari, in particolare per applicazioni di modellazione Virtual Analog. Molti circuiti non lineari, tuttavia, contengono non-linearità multiple o non-linearità multi-porta, le quali non possono essere facilmente implementate tramite Strutture d’Onda Digitali tradizionali. Una delle difficoltà che si incontrano nella modellazione di elementi non lineari multi-porta è la risoluzione di equazioni implicite che spesso legano tra loro le variabili di porta. In questa tesi presentiamo due nuove classi di modelli in forma esplicita, che descrivono elementi non lineari multi-porta, e i metodi per ricavare tali modelli. La prima classe di modelli in forma esplicita riguarda solamente elementi non lineari multi-porta con caratteristiche esponenziali ed è ottenuta sfruttando le proprietà della funzione di Lambert, la quale permette di trovare soluzioni esplicite ad equazioni esponenziali trascendenti scritte in forma implicita. Proponiamo, inoltre, un metodo che garantisce di trovare, senza fare calcoli, relazioni di scattering caratterizzanti bipoli nel dominio d’onda, se si dispone di equazioni nel dominio Kirchhoff che descrivono il bipolo che si vuole modellare in serie ad un equivalente Thevènin. Utilizzando questo metodo e sfruttando la funzione di Lambert ricaviamo un modello esplicito, che descrive una giunzione multi-esponenziale avente diversi meccanismi di conduzione con un banco di diodi in parallelo. La seconda classe di modelli in forma esplicita è più generale della prima, poiché permette di descrivere elementi non lineari multi-porta generici, ottenuti connettendo bipoli resistivi lineari e non lineari. Questi modelli sono derivati utilizzando un metodo che consiste nell’approssimare i bipoli non lineari, che costituiscono l’elemento multi-porta, con caratteristiche lineari a tratti. Il metodo proposto generalizza gli approcci esistenti in letteratura che fanno uso di caratteristiche lineari a tratti, poiché permette la modellazione di connessioni arbitrarie tra le porte esterne dell’elemento non lineare multi-porta e le porte locali dei bipoli non lineari. Sono descritti molti esempi di implementazione ascrivibili ad entrambe le classi di modelli in forma esplicita. La maggioranza degli elementi non lineari multi-porta implementati non sono mai apparsi in letteratura. Esempi significativi sono il ring modulator, il full wave rectifier ed alcune configurazioni di amplificatori con transistori bipolari.