Modelli matematici di crescita tumorale : analisi di stabilità per un modello continuo di tumore avascolare

The aim of this work is to study the onset of instability phenomena at the interface between a spherical avascular tumor and the extracellular environment. These phenomena can lead to the development of complex morphologies tumor. For this purpose, a continuous free interface mathematical model has been formulated, useful to represent the growth of a spheroid tumor within the porous extracellular. The proposed model includes the balance equations of mass and momentum for the population tumor and the reaction-diffusion equation representing the evolution of nutrients. The mathematical analysis conducted led to the definition of the main dimensionless parameters, related to the chemo-mechanical interactions existing among tumor cells, extracellular environment and nutrients, and the geometry of the system, that determine the evolution of the system, allowing us to identify the main mechanisms biological involved in the onset of tumor complex morphologies. In order to understand the derivation of the model and the main biological aspects involved, in the introductory chapters are presented the biological characteristics of the tumor, the continuum mechanics and the main continuous models in the literature. In particular, Chapter 1 is intended to present the biological basis of this disease, both from a microscopic point of view and from a macroscopic point of view, followed by a description of the peculiar aspects that characterize the tumor cells. In Chapter 2 are introduced the basic concepts of continuum mechanics, useful for understanding the main continuous models of tumor growth presented in Chapter 3. Finally, in Chapter 4 is proposed and analyzed a free interface continuous model for the description of tumor growth. In particular, to study how small perturbations of the free interface of the tumor can lead, in time, the onset of complex shapes in terms of structure and morphology of the spheroid tumor, it was suggested the linear stability analysis for the quasi- stationary case.

Il presente lavoro di tesi ha lo scopo di studiare l’insorgenza di fenomeni d’instabilità all’interfaccia tra un tumore sferico avascolare e l’ambiente extracellulare. Tali fenomeni possono portare allo sviluppo di morfologie tumorali complesse. A tal fine, è stato formulato un modello matematico continuo ad interfaccia libera, che ben si presta a rappresentare la crescita di uno sferoide tumorale all’interno dell’ambiente poroso extracellulare. Il modello proposto comprende le equazioni di bilancio della massa e del momento per la popolazione tumorale e l’equazione di reazione-diffusione rappresentante l’evoluzione dei nutrienti. L’analisi matematica condotta ha portato alla definizione dei principali parametri adimensionali, legati alle interazioni meccano-chimiche intercorrenti tra cellule tumorali, ambiente extracellulare e nutrienti, ed alla geometria del sistema, che determinano l’evoluzione del sistema, consentendo di individuare i principali meccanismi biologici coinvolti nell’insorgenza di morfologie tumorali complesse. Al fine di comprendere la derivazione del modello ed i principali aspetti biologici coinvolti, nei capitoli introduttivi vengono presentati le caratteristiche biologiche del tumore, la meccanica dei continui ed i principali modelli continui presenti in letteratura. In particolare, il Capitolo 1 è volto a presentare le basi biologiche di tale patologia, sia da un punto di vista microscopico che da un punto di vista macroscopico, seguito da una descrizione degli aspetti peculiari che caratterizzano le cellule tumorali. Nel Capitolo 2 vengono introdotti i concetti fondamentali della meccanica dei continui, utili per la comprensione dei principali modelli continui di crescita tumorale presentati nel Capitolo 3. Infine, nel Capitolo 4 viene proposto ed analizzato un modello continuo ad interfaccia libera per la descrizione della crescita tumorale. In particolare, per studiare come piccole perturbazioni dell'interfaccia libera del tumore possono portare, nel tempo, all'insorgenza di forme complesse in termini di struttura e morfologia dello sferoide tumorale, si è proposta un’analisi di stabilità lineare per il caso quasi-stazionario.