Modelli GARCH e modelli a volatilità stocastica. Previsione della volatilità implicita

In financial time series analysis, stock returns are one of the most important objects, because they can give us a measure of the profitability of a financial investment. Their volatility is of crucial importance because it serves as a measure of the risk faced by economic agents who purchease an asset. Consequently, it is an integral part of many asset pricing models, in particular it is the only parameter that is unobservable in the Black & Scholes option pricing model. This model has lead to introduce the concept of implied volatility, i.e. “the wrong number to put in the wrong formula to obtain the right price". From a conceptual point of view, it rapresents market expectation about the future volatility of an asset and if we could find the perfect prediction model, investors should make their optimal strategies. However, to predict exactly what will happen in the future is an overly ambitious objective for a mathematician. We just have to find the more explanatory model and use it as a guideline for predictions. The present work is part of this context and aims to find a good model to predict ENI equity's volatility. We study the GARCH model and its most important variants for financial time series. Once identified the best model among them, we compare its results with the Heston model, the most used stochastic volatility model. We start explaining the main underlying concepts for the framing of the problem and then we analyze in detail the sample in question using R e Matlab as computing environment. Finaly, we test our predictions with real values, initially excluded from the sample.

Nello studio delle serie storiche finanziarie, gli oggetti maggiormente interessanti sono i rendimenti degli asset, in quanto costituiscono una misura della redditività delle attività finanziarie. La loro volatilità rappresenta una misura del rischio che gli investitori sono disposti ad affrontare nel momento in cui acquistano un titolo. Di conseguenza, essa è parte integrante di molti modelli di pricing di opzioni, in particolare è l'unico parametro non direttamente osservabile nel modello di Black & Scholes. Tale modello ha portato all'introduzione del concetto di volatilità implicita, cioè quel “numero sbagliato che, inserito nella formula sbagliata, fornisce il valore esatto dell'opzione". Dal punto di vista concettuale, essa rappresenta l'aspettativa del mercato sulla variazione che il titolo avrà in futuro e quindi possedere un modello di previsione perfetto consentirebbe agli investitori di eseguire delle scelte strategiche ottimali. Prevedere con esattezza ciò che si verificherà nel futuro, tuttavia, è un obiettivo eccessivamente ambizioso anche per un matematico. Non resta che limitarsi ad individuare il modello che per la serie storica finanziaria riesce ad essere maggiormente esplicativo e utilizzarlo come linea guida per una previsione futura. Il presente lavoro di tesi si inserisce in questo contesto e si pone l'obiettivo di individuare un buon modello di previsione della volatilità dell'equity di ENI. Vengono studiati il modello GARCH e le sue varianti più interessanti per le serie storiche finanziarie, e vengono confrontati i risultati ottenuti dal migliore tra essi con il principale modello a volatilità stocastica, il modello di Heston. Una volta introdotti i concetti principali per l'inquadramento del problema, viene analizzato nel dettaglio il campione a disposizione utilizzando i due ambienti di calcolo R e Matlab. E’ stata esclusa dall'analisi una parte del campione che verrà infine utilizzata per testare le capacità predittive dei due modelli.