Reduced basis method for isogeometric analysis : application to structural problems

Isogeometric Analysis (IGA) is a computational methodology for the numerical approximation of Partial Differential Equations (PDEs). IGA is based on the isogeometric concept, for which the same basis functions, usually Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), are used both to represent the geometry and to approximate the unknown solutions of PDEs. Compared to the standard Finite Element method, NURBS-based IGA offers several advantages: ideally a direct interface with CAD tools, exact geometrical representation, simple refinement procedures, and smooth basis functions allowing to easily solve high order problems, including structural shell problems. In these contexts, repeatedly solving a problem for a large set of geometric parameters might lead to an high and eventually prohibitive computational cost. To cope with this problem, we consider in this work the Reduced Basis (RB) method for the solution of parameter dependent PDEs, specifically for which the NURBS representation of the computational domain is parameter dependent. RB refers to a technique that enables a rapid and reliable approximation of parametrized PDEs by constructing low dimensional approximation spaces. In this work, for the construction of the reduced spaces we adopt two different strategies, namely the Proper Orthogonal Decomposition and the greedy algorithm. In this thesis we combine RB and IGA for the efficient solution of parametrized problems for all the possible cases of NURBS geometrical parametrizations, which specifically include the NURBS control points, the weights, and both the control points and weights. In particular, we first focus on the solution of second order PDEs on parametrized lower dimensional manifolds, specifically surfaces in the three dimensional space. We consider geometrical parametrizations that entail a nonaffine dependence of the variational forms on the spatial coordinates and the geometric parameters. Thus, depending on the parametrization at hand and to ensure a suitable Offline/Online decomposition between the reduced order model construction and solution, we resort to the Empirical Interpolation Method (EIM) or the Matrix Discrete Empirical Interpolation Method (MDEIM), by comparing their performances. As application, we solve a class of benchmark structural problems modeled by Kirchoff-Love shells for which we consider NURBS geometric parametrizations and we apply the RB method to the solution of this class of fourth order PDEs. We highlight by means of numerical tests, the performances of the RB method applied to standard IGA approximation of parametrized shell geometries.

L'Analisi Isogeometrica (IGA) è una metodologia computazionale per l'approssimazione numerica delle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDEs). IGA si basa sul paradigma isogeometrico, secondo il quale le stesse funzioni di base, di solito Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), vengono utilizzate sia per rappresentare la geometria che per approssimare le soluzioni delle PDEs. Rispetto al metodo degli Elementi Finiti, IGA offre diversi vantaggi: diretta interfacciabilità con gli strumenti CAD, rappresentazione esatta delle geometrie, semplici procedure di raffinamento e funzioni di base smooth che consentono di risolvere problemi di alto ordine, inclusi problemi strutturali di tipo shells. In questo contesto, la risoluzione ripetuta di un problema per un gran numero di parametri geometrici potrebbe richiedere costi computazionali eccessivamente elevati. Per far fronte a questo problema, in questa tesi consideriamo il metodo delle Basi Ridotte per la risoluzione di PDEs parametrizzate, per le quali, in particolare, la rappresentazione della geometria costruita tramite NURBS dipende da parametri. La metodologia RB consente una valutazione rapida, efficiente ed accurata di queste PDEs parametrizzate tramite la costruzione di spazi approssimanti di piccole dimensioni. In questo lavoro per la costruzioni di tali spazi ridotti adottiamo due diverse strategie, nello specifico la Proper Orthogonal Decomposition e un algoritmo greedy. Lo scopo di questa tesi è l'applicazione di RB al metodo IGA per una risoluzione efficiente di problemi parametrizzati per tutti i possibili casi di parametrizzazione delle geometrie costruite tramite NURBS, che nello specifico può riguardare i punti di controllo delle NURBS, i pesi delle NURBS, o sia i punti di controllo che i pesi. Dapprima ci focalizziamo sulla risoluzione di PDEs del secondo ordine su manifolds, in particolare su superfici nello spazio tridimensionale. Consideriamo parametrizzazioni geometriche che causano una dipendenza non affine delle forme variazionali sia rispetto alle coordinate spaziali che ai parametri geometrici. Pertanto, in base alla parametrizzazione considerata e per assicurare una decomposizione Offline/Online efficiente tra la costruzione del modello di ordine ridotto e la sua risoluzione, ricorriamo all' Empirical Interpolation Method (EIM) o al Matrix Empirical Interpolation Method (MDEIM), confrontandone le prestazioni. Come applicazione, risolviamo una classe di problemi strutturali modellati da Kirchoff-Love shells per i quali consideriamo delle parametrizzazioni geometriche ed applichiamo il metodo RB per la risoluzione di questa classe di PDEs del quarto ordine. Attraverso test numerici mettiamo in evidenza le prestazioni del metodo RB applicato a problemi definiti su shells parametrizzate e approssimati tramite IGA.