Strategie di investimento con ritiro ottimo dal lavoro e regime switching

This thesis addresses the problem of finding an optimal strategy of consumption and investment, employment and withdrawal from career in the presence of regime switching, under the effect of a liquidity constraint. In particular it is studied the case of alternating two economic regimes. Assuming an instantaneous utility from the class CES (constant elasticity of substitution), increasing function of consumption and leisure, the constrained problem is reformulated in its dual version using the method of martingale and the definition of convex conjugate functions. The Esscher transform is chosen as the equivalent martingale measure. Through the principle of dynamic programming is then derived the equation of Hamilton Jacobi Bellman in the form of a pair of crossed variational inequalities with free boundaries. The Hamilton Jacobi Bellman equation is then solved numerically and from the solution are obtained the optimal strategies. It is observed that the optimal strategies for the plan of consumption in the two different regimes tend to approach when the economic instability grows up until they join in a single strategy intermediate to the two regimes. The same goes for the strategies of distribution of leisure. Different is the behavior of the investor in terms of optimal portfolio; in fact it seems that the investor increases its exposure when he is in a favorable regime and warns the risk of moving to a less profitable situation, conversely he decreases its exposure when he is in an unfavorable regime waiting to move to a better business environment. This turns into a pair of portfolio strategies that run away with increasing economic instability.

Questa tesi affronta il problema di ricerca di una strategia ottima di consumo e investimento, attività lavorativa e ritiro dalla carriera in presenza di regime switching, sotto l'effetto di un vincolo di liquidità. In particolare viene studiato il caso in cui si alternano due regimi economici. Ipotizzando un'utilità istantanea della classe CES (constant elasticity of substitution), funzione crescente del consumo e del tempo libero, il problema vincolato viene riformulato nella sua versione duale ricorrendo al metodo di martingala e alla definizione di funzioni convesse coniugate. La trasformata di Esscher viene scelta come misura di martingala equivalente. Attraverso il principio di programmazione dinamica viene poi ricavata l'equazione di Hamilton Jacobi Bellman nella forma di una coppia di disuguaglianze variazionali incrociate con bordi liberi. L'equazione di Hamilton Jacobi Bellman viene quindi risolta numericamente e dalla soluzione vengono ricavate le strategie ottime. Si osserva che le strategie ottime per il piano di consumo nei due diversi regimi tendono ad avvicinarsi al crescere dell'instabilità economica sino ad uniformarsi in un'unica strategia intermedia ai due regimi. Lo stesso discorso vale per le strategie di ripartizione del tempo libero. Diverso è il comportamento dell'investitore in termini di portafoglio ottimo; infatti sembra che l'investitore aumenti la sua esposizione quando si trova in un regime favorevole e avverte il rischio di passare ad uno meno profittevole, viceversa diminuisca la sua esposizione quando si trova in un regime poco favorevole nell'attesa di passare ad un contesto economico migliore. Questo si tramuta in una coppia di strategie di portafoglio che si allontanano all'aumentare dell'instabilità economica.