On the computation of power indices via generating functions

The method of the generating functions for computing some power indices for weighted simple games is very convenient. A seminal work by Brams and Affuso in the seventies showed how to compute the Banzhaf and the Shapley-Shubik indices. Since then, some variants of the method have been showed to be useful for computing alternative power indices. In this work we enlarge the list by showing how the König and Bräuninger's inclusiveness index can be computed. Subsequently, we focus on extending the method to weighted simple games with a probabilistic distribution over coalitions for computing the indices of success and decisiveness. We conclude by analyzing voting systems in which the abstention is considered, the so called (3,2) games, and for these type of games we provide a method based on generating functions to efficiently compute the Shapley-Shubik index.

Nei giochi semplici a maggioranza pesata il calcolo degli indici di potere con il metodo basato sulle funzioni generatrici è molto utile in quanto permette di implementare un algoritmo. Un lavoro fondamentale di Brams e Affuso degli anni settanta mostrò come calcolare l’indice di Banzhaf e quello di Shapley-Shubik. Dopo quel lavoro, furono presentate alcune varianti del metodo per permettere il calcolo di altri indici di potere. In questo lavoro amplieremo la lista mostrando come l’indice di König e Bräuninger può essere calcolato con questo metodo. Successivamente, ci focalizzeremo sull’estensione di questo metodo ai giochi semplici a maggioranza pesata con una distribuzione di probabilità sulle coalizioni al fine di calcolare per ogni giocatore l’indice di successo e quello di decisività. Concluderemo trattando i sitemi di voto nei quali è considerata anche l’astensione, chiamati giochi (3, 2), e per questo tipo di giochi forniremo un metodo basato sulle funzioni generatrici per calcolare efficientemente l’indice di Shapley-Shubik.