Reduced order model of a vertical riser under heave imposed motion

The dynamic behavior of vertical rigid risers under top imposed motion (heave) is considered using a reduced-order model (ROM) based on a Bessel-like mode. Bessel’s functions appear to be the proper choice for the eigenmodes due to the very small riser’s bending stiffness and the elevated ratio between the length and the diameter. Heave motion enforce modulation of the tension amplitude along the riser. In this scenario it is studied the particular case of parametric resonance caused by an excitation frequency that is equal to the double of the structure’s first lateral natural frequency. The vibration modes of slender beams subjected to axial loads (Bessel-like modes) are used to project (via the Galerkin Method) the continuum system dynamics onto a single-degree-of-freedom system phase plane. Then the amplitudes of the response are obtained via numerical integration (Runge-Kutta method family). The ROM obtained will be set according to the experimental results obtained with a physically-reduced model tested in a towing tank (Technological Research Institute of the State of São Paulo, IPT) [10] [11]. A comparison in terms of amplitudes between the ROM based on the Bessel-like modes and the ROM based on trigonometric function is carried out .In order to ensure the correctness and the reliability of the reduced-order model a Finite Element Model is developed with a specialized commercial software frequently used in Offshore Engineering (OrcaFlex©). A discussion of the results is made. Finally a study on the stability of the ROM is performed. A perturbation technique is used, namely the multiple scales method, in order to obtain an autonomous system in substitution to the original non-autonomous system. Then the stability of the steady state is investigated referring to the Strutt’s diagram and the post-critical behavior is studied proposing a new type of diagram.

L’oggetto del presente elaborato di tesi è lo sviluppo di un modello matematico di ordine ridotto atto a cogliere in modo adeguato il comportamento dinamico di un riser verticale soggetto a eccitazione parametrica. I riser sono condotte sottomarine che convogliano idrocarburi partendo dal fondo mare per poi risalire fino all’impianto di produzione in superficie. Queste strutture impiegate diffusamente nell’ingegneria offshore si differenziano in varie tipologie a seconda delle condizioni ambientali nelle quali l’estrazione di idrocarburi deve essere operata, nell’elaborato viene esaminato il caso di geometria verticale collegata alle unità di produzione galleggianti. Le azioni dinamiche alle quali i riser sono soggetti possono essere molteplici e di varia natura rendendo lo studio della risposta dinamica di quest’ultimi assai complesso. Nello specifico viene esaminato il caso di eccitazione verticale a variazione periodica generata dal movimento dell'unità galleggiante che è a sua volta generato dal moto ondoso. Il caso di eccitazione verticale (heave) è di estremo interesse, in quanto può generare risposte dinamiche indesiderate come la risonanza parametrica che viene innescata quando la frequenza eccitante assume un valore pari al doppio di quella propria della struttura. Quando ciò avviene la condotta sottomarina esibisce oscillazioni di ampiezza elevata che possono portare a problematiche legate alla fatica del materiale e, nei casi più estremi, alla rottura dello stesso causando quindi lo sversamento dell'idrocarburo nel mare. Risulta quindi evidente come cogliere in modo adeguato il comportamento di suddette strutture già in fase preliminare sia di grande importanza. Il modello numerico è stato sviluppato partendo dalla teoria della trave all'Eulero-Bernoulli e facendo ricorso al principio di Hamilton ottenendo un disaccoppiamento tra spostamento verticale e longitudinale. Il riser viene modellato, nella sua configurazione statica, come una trave snella soggetta a una forza assiale linearmente variabile lungo la sua lunghezza trascurando l'inerzia longitudinale. Essendo il sistema soggetto a eccitazione parametrica la rigidezza flessionale varia nel tempo, dunque l'equazione che governa lo spostamento trasversale viene ricondotta a quella di un cavo equivalente dove l'azione assiale è anch'essa variabile nel tempo. La variabilità della rigedezza flessionale viene espressa in funzione dell'ampiezza modale adimensionalizzata rispetto al raggio giratore d'inerzia introducendo così un ulteriore fonte di non linearità nell'equazione. La soluzione dell'equazione viene ricercata sotto forma di modi non-lineari caratterizzati da funzioni di Bessel. I modi non lineari vengono usati per proiettare il sistema continuo su di un sistema a un solo grado di libertà facendo ricorso alla metodologia proposta da Galerkin, così da generare il modello di ordine ridotto (ROM). Nel modello di ordine ridotto l'effetto idrodinamico viene considerato seguendo un approccio basato sull'equazione di Morison in modo tale da tener in conto l'effetto smorzante che il fluido esercita sul riser una volta che le oscillazioni hanno avuto inizio. L'impatto che il termine non-lineare contenuto nella rigidezza flessionale ha sul modello viene studiato in termini di forma modale per vari modi e per vari livelli di non-linearità. I risultati hanno mostrato come questo termine abbia un'influenza trascurabile sulla forma modale e la frequenza del primo modo all'aumentare della non-linearità, al contrario il suo effetto assume sempre più importanza con l'aumentare del numero del modo considerato. L'effettiva attendibilità della risposta dinamica fornita dal modello,in termini di ampiezza massima raggiunta in mezzeria, viene verificata basandosi sui risultati sperimentali ottenuti da una prova sperimentale in scala ridotta effettuato presso il Technological Research Institute of the State of São Paulo. Questi risultati hanno mostrato come la risposta dinamica sia prevalentemente caratterizzata dal primo modo, il modello viene dunque inizialmente sviluppato trascurando il termine non-lineare presente nella rigezza flessionale. La calibrazione del ROM viene effettuata a partire dai dati dei test sperimentali i quali però non danno informazioni sul coefficiente di drag che viene quindi cambiato iterativamente al fine di ottenere un'ampiezza delle oscillazioni in mezzeria pari a quella ottenuta sperimentalmente. Il valore del coefficiente di drag ottenuto appare ragionevole e dunque si può ritenere che il modello sia effettivamente in grado di cogliere la risposta dinamica del riser soggetto a eccitazione parametrica. Per avere un'ulteriore conferma dell'affidabilità del modello di ordine ridotto è stato sviluppato un modello agli elementi finiti usando un sofware specializzato per la progettazione di strutture offshore. L'analisi del modello FEM, eseguita con i medesimi dati del modello di ordine ridotto,ha mostrato risultati del tutto comparabili con quelli ottenuti dal modello semplificato confermandone la validità. Nell'elaborato vengo proposti diversi confronti tra il ROM ottenuto trascurando la variabilità della rigidezza flessionale per il primo modo e altri modelli ridotti ottenuti modificando quello di partenza. Lo sviluppo di un modello comprensivo del termine non lineare ha permesso di mostrate quello già ottenuto in fase preliminare: per sistemi dinamici basati su una risposta dinamica caratterizzata dal primo modo il termine non lineare riveste un'importanza del tutto marginale, mentre risulta imprescindibile per modi di ordine maggiore. Inoltre lo stesso modello è stato modificato ipotizzando una risposta di tipo trigonometrico,come alcune referenze in letteratura suggeriscono [6] [9] [10], e si è evidenziato una differenza apprezzabile nei risultati rispetto al modello basato su funzioni di tipo Bessel sviluppato nell'elaborato, che tuttavia mostra una aderenza maggiore alla realtà in termini di forme modali assunte dal sistema. La parte conclusiva dell'elaborato riguarda l'analisi della stabilità del modello. Un primo studio è stato eseguito riconducendosi all'equazione di Mathieu per eccitazione parametrica e al relativo diagramma di Strutt. Ricorrendo ad un'analisi di questo tipo il modello ricade in una regione d'instabilità del diagramma di Strutt predicendo un'ampiezza dell'oscillazione illimitata nel tempo contrariamente a quanto il modello di ordine ridotto ha mostrato. Questo è dovuto all'incapacità del metodo di cogliere in modo corretto i termini smorzanti che sono presenti nel modello e che rendono la soluzione limitata nel tempo. Si è reso dunque necessario effettuare uno studio più approfondito della stabilità post critica dello stato stazionario. Avvalendosi del metodo perturbativo delle scale multiple il sistema è stato reso autonomo così da facilitarne lo studio. Un nuovo diagramma per lo studio del comportamento post critico è stato infine proposto dove si può apprezzare il valore dell'ampiezza dell'oscillazione del sistema in funzione della frequenza e dell'ampiezza dell'eccitazione. Il grafico mostra chiaramente come l'ampiezza dell'oscillazione per il caso studiato risulti limitata come hanno mostrato i test sperimentali,il modello di ordine ridotto e il modello FEM. Il modello matematico di ordine ridotto qui proposto è in grado di cogliere gli aspetti dinamici fondamentali di un riser verticale soggetto a eccitazione parametrica e può essere usato come ausilio allo progettazione in fase preliminare; senza dover ricorrere fin da subito a modelli più complessi.