Direct numerical solution of the Stokes equation in complex porous media

This dissertation is focused, adopting a CFD technology, on the evaluation of porous medium properties, such as permeability and porosity. Indeed through resolving flow at the single pores scale, the saturated fluid flow problem (governed by Stokes flow) on complex geometries, it is possible to estimate important properties as permeability. The main goal is to find functional relationships between permeability and porosity for different kind of rocks analysed at the micron to millimeter scales. In order to obtain the results we need to analyze digitalized 3D images of sedimentary and carbonate porous media at the micron scale - produced by X-Ray tomography. The fluid flow in the complex pore space was numerically calculated through the direct solution of the Stokes equations. To resolve these equations we used the calculation code FEniCS (based on FEM), on mesh specially build with the mesh programme Tarantula. The permeability predictions are calculated with the Darcy’s law applied on the global scale of the whole system. We first validated the results of the code against the Poiseuille analytical solution obtained for a circular pipe and found the level of mesh refinement necessary to produce accurate results. The project is focused on three different arguments.  Understanding which is the right resolution to adopt, during the study of a typical reservoir porous medium specimen microstructure, in order to be able to identify all the rocks characteristics that affect properties as porosity and permeability.  Identification of representative elementary volume (REV) for porosity and permeability. We showed that the permeability REV is larger than for geometry-based properties such as porosity since it needs to account the tortuosity and connections of the flow paths. We also obtained correlations between porosity and permeability for different millimetric-sized rock images. These correlations are useful to build a field-scale reservoir model from an inference of likely porosity variations.  Evaluation of the isotropy/anisotropy of the permeability tensor on all the rocks previously analysed. This work could be used in future researches in order to understand how to approach the microscale study of the fluid physics with the right resolution and computational power. In addition to in future will be possible to obtain the same results obtained in this work, also for carbonates, providing good and interesting results for the oil industry.

Il lavoro di tesi è focalizzato sull'impiego di una tecnica CFD per la valutazione di proprietà macroscopiche di mezzi porosi, quali la permeabilità. Quest'ultima è stimata partendo dalla risoluzione alla scala dei pori del problema del flusso di filtrazione saturo (governato dalle equazioni di Stokes). L’obiettivo principale consiste nell’analisi di relazioni funzionali tra permeabilità e porosità per differenti tipi di mezzi porosi naturali, dalla scala micrometrica a quella millimetrica. Si sono analizzate immagini tridimensionali digitalizzate di mezzi porosi sedimentari e carbonatici alla scala micrometrica – prodotti da applicazioni di tomografia a raggi X. Il problema del flusso in tali spazi porosi complessi è stato valutato attraverso la soluzione numerica diretta delle equazioni di Stokes. A tal fine si è utilizzato il codice di calcolo FEniCS (basato su FEM). I valori di permeabilità associati al comportamento continuo del mezzo poroso sono calcolati tramite la legge di Darcy applicata alla scala globale del sistema analizzato. I risultati numerici sono sottoposti a validazione mediante confronto con la soluzione analitica del flusso laminare in condotto circolare. Indagini numeriche consentono poi di individuare il livello di accuratezza della mesh adatto al problema in esame. Il progetto è centrato su tre diversi temi. Analisi della risoluzione di imaging appropriata da adottare durante lo studio di una tipica microstruttura di un mezzo poroso reale, con la finalità di identificare proprietà come la porosità e la permeabilità.  Identificazione del volume elementare rappresentativo (REV) per porosità e permeabilità. Si mostra che il REV della permeabilità è tipicamente maggiore di quello calcolato per proprietà geometriche come la porosità, poiché deve tener conto della tortuosità e delle connessioni dei percorsi di flusso. Si è inoltre investigato un legame funzionale empirico tra porosità e permeabilità per differenti immagini di mezzi porosi. Queste tipologie di correlazioni sono utili per la successiva costruzione del modello di giacimento.  Valutazione dell’isotropia/anisotropia del tensore di permeabilità sui campioni di mezzo poroso analizzati. I risultati e la metodologia del lavoro possono essere utilizzati in future ricerche volte all'analisi delle interazioni tra la fisica di base alla microscala e il comportamento del sistema a scale del continuo tipiche di applicazioni industriali. Possibili estensioni riguardano lo studio di rocce carbonatiche, di sicuro interesse per l'industria petrolifera.