Exact solutions to non-classical, quasi-1D steady nozzle flows of Bethe-Zel'dovich-Thompson fluids

The properties of steady internal flows of Bethe-Zel'dovich-Thompson (BZT) fluids---substances exhibiting a finite region of negative fundamental derivative of gasdynamics---are analyzed. Neglecting the effects of viscosity and thermal diffusion, exact solutions to flows of a mono-component and single-phase fluids in a converging-diverging nozzle are derived here for the first time, within a quasi-one-dimensional approximation. The governing differential equations are analytically integrated, holding the uniformity of the mass flow rate, the entropy and the total enthalpy. Given the values of these three quantities, the problem is recast in terms of a single algebraic equation with density as unknown. Shock waves play a significant role in the complete description of nozzle flows. A general solution consists of isentropic portions matched with shock discontinuities, which have to satisfy the Rankine-Hugoniot jump relations together with suitable admissibility criteria. The proposed solution method consist in solving at most systems of non linear algebraic equations, with the desired accuracy. Hence, these solutions are to be considered exact, though no closed-form analytical expression is provided. The van der Waals polytropic model, i.e. with constant specific heat at constant volume, is used here as the most simple model allowing for a BZT fluid behavior. The nozzle is considered as a discharging device between a reservoir and a stationary atmosphere with fixed pressure. For given reservoir conditions, a specific sequence of exact solutions is observed as the exhaust condition is altered. The resulting exact solutions layout identifies the so-called functioning regime. The BZT fluid class is found to exhibit eight distinct functioning regimes, with significant differences compared to the well-known solutions layout for ideal gases. Non-ideal effects include the non-monotonicity of Mach number in isentropic flows, the presence of rarefaction shock waves and shock-splitting configurations. The dependence of the functioning regimes on the reservoir conditions is analyzed, to produced the so-called thermodynamic map of functioning regimes. The effect of varying the molecular complexity is also discussed.

Nel presente lavoro vengono analizzate le proprietà di correnti interne di vapori di fluidi Bethe-Zel'dovich-Thompson (BZT), ossia quelle sostanze in grado di esibire una regione termodinamica con derivata fondamentale della gasdinamica negativa. Considerando trascurabili gli effetti della viscosità e della conducibilità termica, lo scopo è produrre delle soluzioni esatte per un flusso monocomponente e monofase in un tipico ugello convergente-divergente, nell'ambito di un'approssimazione quasi mono-dimensionale. Le equazioni differenziali che governano la corrente sotto tali ipotesi possono essere integrate analiticamente ottenendo l'uniformità di tre variabili lungo l'asse dell'ugello: il flusso di massa, l'entropia e l'entalpia totale. Un'opportuna rielaborazione delle equazioni consente di ottenere un'unica equazione algebrica implicita per l'incognità densità, una volta fissati i valori delle tre quantità costanti nell'ugello. Le onde d'urto giocano un ruolo importante per una completa descrizione della corrente. A queste si richiede di soddisfare le relazioni di salto di Rankine-Hugoniot, insieme a determinate condizioni di ammissibilità. Una soluzione generale del problema in esame è costituita da porzioni isoentropiche, nelle quali le equazioni in forma differenziale sono valide, opportunamente interfacciate da onde d'urto normali. Considerando l'ugello come un dispositivo connesso a monte ad un serbatoio e a valle ad una regione con pressione fissata, il metodo qui proposto consente di ottenere la soluzione del problema risolvendo al più sistemi non lineari di equazioni algebriche, le cui radici possono essere determinate numericamente con l'accuratezza desiderata. Di conseguenza le soluzioni vengono considerate esatte, sebbene non ne venga fornita un'espressione analitica. Il modello termodinamico qui impiegato, il gas di van der Waals politropico con elevata complessità molecolare, si rivela molto adatto per uno studio qualitativo del problema. Per condizioni di serbatoio fissate, al variare della condizione a valle, ossia la pressione allo scarico, si osserva una specifica sequenza di soluzioni esatte. La forma e la sequenza stessa delle soluzioni identificano un determinato regime di funzionamento. Otto diversi regimi di funzionamento vengono introdotti per i flussi di fludi BZT. Le differenze principali con i flussi di gas ideali includono la non-monotonicità del numero di Mach in correnti isoentropiche, la formazione di onde d'urto di rarefazione e di configurazioni shock-splitting. Si studia la dipendenza del regime di funzionamento dalle condizioni di serbatoio, per ottenere la cosiddetta mappa termodinamica dei regimi. Si discute infine l'effetto su questa stessa mappa di una riduzione della complessità molecolare.