Efficient solution techniques for hp-version Discontinuous Galerkin approximations of elliptic problems

In this thesis, we address the study and design of efficient solution techniques for the linear system of equations arising from the hp-version Discontinuous Galerkin discretization of elliptic equations. For this class of problems, we analyze W-cycle multigrid algorithms in the case of standard computational grids, and prove that a uniform convergence with respect to the number of levels, the granularity of the partition h, and the polynomial approximation order p can be obtained, provided the number of smoothing steps is large enough, and properly chosen as a function of p. The same theoretical tools are employed to develop the multigrid framework for the case of polygonal/polyhedral grids, thus retrieving similar convergence estimates. The analysis is based on suitable geometrical assumptions on the set of underlying grids, which cause the convergence result for the W-cycle multigrid scheme to hold only if the number of levels is kept limited. Space decomposition techniques are also considered, and we design and analyze a two-level additive preconditioner, which is uniform with respect to the discretization parameters, i.e., the mesh size, the polynomial approximation degree, and the penalization coefficient appearing in the bilinear form. The two-level setting is then further developed into a V-cycle multigrid algorithm uniformly convergent with respect to the number of levels and the discretization parameters. The numerical tests proposed for the studied methods underpin the theoretical predictions.

In questa tesi, vengono proposte e analizzate tecniche di soluzione per i sistemi lineari di equazioni derivanti da discretizzazioni Discontinuous Galerkin di alto ordine di problemi ellittici. Per questa classe di problemi, vengono analizzati algoritmi W-cycle multigrid nel caso di griglie computazionali standard e si dimostra che è possibile ottenere una convergenza uniforme rispetto al numero di livelli, alla dimensione caratteristica della griglia e al grado polinomiale dell'approssimazione, a condizione che il numero di passi di smoothing sia sufficientemente grande, e opportunamente scelto in funzione dell'ordine polinomiale. Gli stessi strumenti teorici vengono utilizzati per sviluppare l'analisi del metodo multigrid per il caso di griglie poligonali/poliedriche, ottenendo in tal modo stime di convergenza analoghe. L'analisi si basa su opportune ipotesi geometriche relative al set di griglie utilizzate, a causa delle quali il risultato di convergenza per lo schema W-cycle multigrid risulta valido solo se il numero di livelli è limitato. Nell'ambito delle tecniche di Space Decomposition, viene proposto e analizzato un precondizionatore a due livelli additivo, uniforme rispetto ai parametri di discretizzazione, ossia, la dimensione caratteristica della griglia, il grado polinomiale dell'approssimazione, e il coefficiente di penalizzazione che appare nella forma bilineare. Il metodo a due livelli è poi ulteriormente sviluppato in un algoritmo V-cycle multigrid, che converge uniformemente rispetto al numero di livelli e ai parametri di discretizzazione. Le prove numeriche proposte per i metodi studiati supportano le previsioni teoriche.