Object oriented geostatistics

This dissertation introduces and explores Object Oriented Geostatistics (OOGeoStat) as a new branch of Object Oriented Data Analysis (OODA) addressing the problem of geostatistically characterizing spatially dependent complex data, such as curves, images, or covariance operators. The unifying idea of this work is to consider the available data as object data, and accordingly interpret a georeferenced dataset as a partial observation of a random field valued in an appropriate space (finite- or infinite-dimensional). The relevance of this new viewpoint to geostatistics is twofold: (i) it allows to treat a broad class of georeferenced complex data which are nowadays commonly available in industrial and environmental studies (e.g., temperature profiles, data on soil composition, etc.), and (ii) it provides new insights in well-established multivariate methods, such as Cokriging. As a first key element of innovation, a novel and coherent theoretical framework is established, allowing for the geostatistical analysis of data in any separable Hilbert space, not just L2. Novel global notion of spatial dependence are defined, based on the concepts of norm and inner product in a Hilbert space. Consistently, an original Universal Kriging methodology for Hilbert-space valued random fields is derived. The Hilbert-space embedding allows to deal with most types of data which are commonly available in environmental and industrial research. For instance, the developed theory enables one to address a key issue in Earth sciences, that is the geostatistical characterization of soil particle-size densities in heterogeneous systems. These data are here interpreted as functional compositions - i.e., infinite-dimensional objects constrained to be positive and to integrate to a constant - and analyzed via a Hilbert-space embedding which relies upon a recent generalization of the Aitchison geometry to the infinite-dimensional setting. The last part of this work seeks to go further beyond Hilbert spaces, in the challenging directions of object data in Riemannian manifold - with particular emphasis on positive definite covariance matrices - and in Banach spaces. In the former case our methodological proposal exploits a tangent space projection, while the theoretical developments for the Banach-space embedding rely upon some key result in the theory of Gaussian measures on infinite-dimensional spaces. All the methodological proposals of the present work are supported by appropriate algorithmic developments, as well as by their application to simulated and real field dataset.

Questa dissertazione introduce ed esplora la Object Oriented Geostatistics (OOGeoStat) come una nuova branca della Object Oriented Data Analysis (OODA) volta alla caratterizzazione geostatistica di dati spazialmente dipendenti e complessi, come curve, immagini od operatori di covarianza. L’idea unificante di questo lavoro è la considerazione dei dati a disposizione come “oggetti” e la conseguente interpretazione di un dataset georeferenziato come l’osservazione parziale di un campo aleatorio a valori in un opportuno spazio (finito- o infinito-dimensionale). Questo nuovo approccio alla geostatistica possiede una duplice rilevanza: (i) consente di trattare un’ampia classe di dati complessi georeferenziati che sono comunemente disponibili negli studi industriali e ambientali (e.g., profili di temperatura, dati riguardanti la composizione del terreno, etc.), e (ii) fornisce nuove visioni rispetto a metodi multivariati già consolidati, come il Cokriging. Un primo elemento chiave di innovazione è la proposta di un nuovo e coerente contesto teorico per l’analisi geostatistica di dati in un qualsiasi spazio di Hilbert separabile. Sono qui proposte nuove definizioni globali di dipendenza spaziale, basate sul concetto di norma e prodotto interno in uno spazio di Hilbert. Consistentemente con questi sviluppi, è ricavata una metodologia originale di Kriging Universale per campi aleatori a valori in uno spazio di Hilbert. L’immersione in uno spazio di Hilbert consente di trattare la maggior parte dei dati che sono comunemente disponibili nella ricerca ambientale e industriale. Ad esempio, la teoria qui sviluppata permette di affrontare un problema fondamentale nelle scienze della Terra, ovvero di caratterizzare geostatisticamente densità granulometriche in sistemi eterogenei. Questi dati sono qui interpretati come composizioni funzionali – i.e., oggetti infinito-dimensionali vincolati ad essere positivi ed integrare a una costante – e analizzati attraverso l’immersione in uno spazio di Hilbert, che si basa sulla generalizzazione della geometria di Aitchison al contesto infinito-dimensionale. L’ultima parte di questo lavoro oltrepassa il campo degli spazi di Hilbert, nelle ambiziose direzioni di oggetti in varietà Riemanniane – con particolare riferimento alle matrici definite positive – e in spazi di Banach. Nel primo caso la presente proposta metodologica sfrutta una proiezione su uno spazio tangente, mentre gli sviluppi teorici validi per l’immersione in uno spazio di Banach sono basati su alcuni risultati chiave della teoria delle misure Gaussiane in spazi infinito-dimensionali. Tutte le proposte metodologiche del presente lavoro sono supportate da sviluppi algoritmici appropriati e dalla loro applicazioni a dati simulati e di campo.