Linear stability analysis in FSI problems including large displacements

This work concerns the development of a code meant to study the linear stability and structural sensitivity of a large number of problems involving the interaction of an incompressible, Newtonian fluid with a deformable structure. The incompressible Navier–Stokes equations, used to model the fluid, have been written in an Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) reference framework, while the structure has been modelled as an homogeneous solid, governed by linear-elasticity equations, written in a Lagrangian framework to allow the treatment of large displacements. A Newton solver for the resulting set of equations has been developed, where the linearisation of the equations has been performed using automatic-differentiation tools. The discretisation and solution of the equations has been performed using the FEniCS library. In addition, the tools necessary to compute the eigensolution of the linearised problem in the linear stability analysis of the computed solution have been implemented. The structural-sensitivity parameter has been computed for the least stable eigensolution. The developed method has been applied to the problem of a cylinder with a flexible splitter plate: two different instability modes have been found for this configuration, one has a strong fluid-structure coupling, while the second is mainly fluid dynamic. Approximate neutral curves have been drawn for each mode in a reduced parameter space, determining, at their intersection point, a set of values of the parameters for which a codimension-two, Hopf-Hopf bifurcation. The method has been applied also to the study of the stability of a flexible filament in cross flow, for which an instability mode has been found.

Questo lavoro presenta lo sviluppo di un programma adatto a studiare la stabilità lineare e la sensitività strutturale di una vasta gamma di problemi che coinvolgano l’interazione di un fluido Newtoniano incomprimibile con una struttura deformabile. Le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili, con cui è modellato il fluido, sono state scritte in un riferimento ALE, mentre la struttura è stata modellata come un solido omogeneo governato dalle equazioni dell’elasticità lineare, scritte in riferimento Lagrangiano per poter trattare grandi spostamenti. Si è sviluppato e validato un solutore del sistema risultante tramite il metodo di Newton, in cui la linearizzazione è stata eseguita tramite procedure di differenziazione automatica. La discretizzazione e la soluzione delle equazioni è stata eseguita con gli strumenti resi disponibili dalla libreria FEniCS. Inoltre si sono implementati gli strumenti necessari per il calcolo delle autosoluzioni del problema linearizzato per l’analisi di stabilità lineare della soluzione trovata. Si è calcolato anche il parametro di sensitività strutturale del modo meno stabile. Il metodo è stato poi applicato al caso di un cilindro con un deflettore posteriore flessibile, per cui si sono evidenziati due modi di instabilità, uno con forte accoppiamento fluido-struttura e un secondo prettamente fluidodinamico. Si sono tracciate in modo approssimato le curve neutre per entrambi i modi in uno spazio dei parametri ridotto, individuando nel punto di intersezione delle stesse il valore dei parametri per cui si produce una biforcazione di codimensione due di tipo Hopf- Hopf. Si è applicato il metodo anche allo studio della stabilità di un filamento flessibile immerso in una corrente trasversale, evidenziando un modo di instabilità di questo sistema.