Linear stability analysis of a flag in a uniform stream

The aim of this work is the numerical investigation of the instability of a flexible thin object, a flag or a filament, in a uniform stream. The filament leading edge is hinged on a spring while the trailing edge is not retained. Using a monolithic approach, we are able to fully couple the incompressible Navier–Stokes equations with the equations describing the structure dynamics. To study the global linear stability, the equations for both the fluid and the structure are linearised paying attention to the coupling terms that are represented both by boundary conditions and by the forcing of the fluid on the structure. Once obtained the linearised equations, they are discretised using the Finite Element Method. The open-source library Getfem++ is used to implement the code. The code is validated both considering a very large mass ratio, corresponding to the uncoupled problem, and by comparison with results obtained with nonlinear direct simulations for different values of the parameters available in the literature. To compare the present results with reference data, we consider a very stiff spring which is almost equivalent to a plate hinged in one end and free to move in the other end. We plotted the neutral curves in three different 2D parameter spaces: mass ratio-reduced velocity, mass ratio-Reynolds number and mass ratio-spring rigidity. For some interesting points on the neutral curves, we compute both the direct and the adjoint eigensolutions. A convergence check is performed ascertaining the sensitivity both to mesh refinement and to the dimensions of the domain. The pseudospectra are also computed using the EigTool developed by Trefethen, Wright and Embree in order to investigate the consequences of the nonnormality of the operators on the system dynamics. Finally, a structural sensitivity analysis is performed to locate the origin of the instability mechanism.

Lo scopo di questo lavoro di tesi è studiare numericamente l’instabilità di un corpo sottile e flessibile, un filamento o una bandiera, lambito da una corrente uniforme. Il bordo d’attacco del filamento è incernierato su una coppia di molle mentre il bordo d’uscita è libero di muoversi. L’approccio utilizzato è di tipo monolitico in modo da poter studiare il problema fluido-struttura accoppiando completamente le equazioni di Navier–Stokes con quelle che governano la dinamica della struttura. Per studiare la stabilità lineare del sistema, le equazioni che governano la dinamica del fluido e della struttura sono linearizzate prestando attenzione ai termini di accoppiamento che sono rappresentati sia dalle condizioni al contorno, sia dai termini forzanti agenti dal fluido sulla struttura. Le equazioni linearizzate sono poi discretizzate utilizzando il metodo degli Elementi Finiti. Per implementare il programma di calcolo è stata utilizzata la libreria aperta Getfem++. Il programma è validato sia nel caso di problema disaccoppiato, cioè per alti rapporti di massa, sia nel caso accoppiato, per diversi valori dei parametri, utilizzando i risultati ottenuti da DNS disponibili in letteratura. Per confrontare i risultati qui presentati con quelli di letteratura si considera una molla molto rigida, in modo da poter assumere la configurazione considerata equivalente a quella di un filamento con un estremo incernierato e l’altro libero. Si sono ottenute le curve neutre in tre diversi piani 2D nello spazio dei parametri: rapporto di massa-velocità ridotta, rapporto di massa-numero di Reynolds e rapporto di massa-rigidezza della molla. Per alcuni punti interessanti della curva si calcolano le autosoluzioni dirette e aggiunte. È stata effettuata anche un’analisi di dipendenza sia dal raffinamento della griglia sia dalle dimensioni del dominio per verificare l’affidabilità dei risultati. Si è inoltre calcolato lo pseudospettro, utilizzando il pacchetto EigTool sviluppato da Trefethen, Wright e Embree, per meglio analizzare le conseguenze della nonnormalità degli operatori. Infine, è stata eseguita un’analisi di sensitività strutturale in modo da localizzare l’origine del meccanismo di instabilità nel campo di moto.