Option pricing di derivati con metodi di quantizzazione

The goal of the thesis, is to price options, using a method based on quantization technique, which consists in approximating a signal admitting a continuum of possible values, by a signal that takes values in a discrete set. In the first part, we present an introductory survey to optimal vector and functional quantization and both theoretical results on the existence and asymptotics and the learning procedures that allow to design optimal quantizers (Newton-Raphson, Lloyd I and CLVQ) are presented. We also provide a brief description of the notion of dual quantization as a possible alternative to the more traditional. Once the concepts of theoretical quantization are depicted, in the remaining part of the thesis, we price different options, the vanilla, basket, asiatic and barrier options. Particularly, for the last type of options, we propose the recent marginal quantization metholodogy, which is applied to a known useful representation of the premium of barrier options, similar to the one used for estimating non linear filtering. Moreover, in order to make a complete study on pricing, we have focused to the different existence models in finance. We start firstly in the Black&Scholes framework, but for overcoming its flaws, we extend the option pricing to a more realistic contest, for instance to the stochastic volatility models (Heston) and jump models (NIG). In the financial institutions, quickness of execution, as well as high accuracy, are important criteria when choosing a pricing method, for this reason the results obtained through the quantization with Monte Carlo method are compared, in order to evaluate whether the quantization method meets such requirements and can be a valid substitution method of the traditional ones.

L'obiettivo di questa tesi è quello di studiare la valutazione delle opzioni, presentando un metodo di pricing basato sulla tecnica della quantizzazione, che consiste nell'approssimare un segnale che ammette un insieme continuo di possibili valori in un segnale che assume valori in un insieme discreto. Nella prima parte dell'elaborato si introduce il concetto di quantizzazione applicata sia ai vettori aleatori, che ai processi stocastici, concentrandosi sui risultati teorici di esistenza e convergenza e sui metodi numerici per ottenere i quantizzatori (Newton-Raphson, Lloyd I e CLVQ). Viene anche inserita una breve descrizione della tecnica della quantizzazione duale, come possibile alternativa a quella semplice. Una volta assimilate le proprietà teoriche, nella restante parte dell'elaborato viene effettuato il pricing di diverse tipologie di opzioni, quali europee, basket, asiatiche e barriera. Per quest'ultimo tipo di opzioni in particolare, viene presentata la recente tecnica della quantizzazione marginale, al fine di effettuare il pricing sfruttando una rappresentazione del premio delle opzioni barriera simile a quello usato per stimare filtri non lineari. Inoltre, per affrontare in maniera organica ed esaustiva le tematiche del pricing, abbiamo focalizzato l'attenzione sui diversi modelli esistenti in finanza. Inizialmente si effettua il pricing nell'ambito del modello di Black&Scholes, ma, per sopperire ai limiti di quest'ultimo, si procede alla valutazione delle opzioni in contesti più aderenti alla realtà, come i modelli a volatilità stocastica (Heston) e i modelli con salti (NIG). In particolare, considerando le caratteristiche che deve soddisfare un metodo di pricing, ovvero quello di essere versatile, veloce ed accurato, tutti i risultati ottenuti vengono confrontati con quelli del tradizionale metodo Monte Carlo, allo scopo di comprendere se la quantizzazione possa essere una valida tecnica alternativa.