Multiscale domain decomposition methods for high heterogeneous Darcy flows

The thesis deals with the numerical simulation of Darcy flows in porous media that exhibits high heterogeneous and fast-oscillatory behavior at wide range of spatial scales,with the aim of providing an effective numerical tool for predicting the pore pressure in multilayer faulting and discrete fracture network scenarios. Due to the ill-conditioning of the very large algebraic system arising in the discretization of the Darcy system of partial differential equation at fine scale resolution, an iterative preconditioned solver plays an essential role. We focused our work on domain decomposition multiscale preconditioner based on a two-level Schwarz overlapping operator. The main challenges of the multiscale domain decomposition method available in the literature, is the robustness with respect to large variation of heterogeneity when dealing with arbitrary meshes and decompositions. We have introduced a new three stage multiscale domain decomposition preconditioner able to solve flow in high heterogeneous rock formation also when using irregular overlapping partition with minimal overlap. Furthermore, since we investigate the Darcy flow in high heterogeneous complex geological formation, like multilayer faulting, the permeability field is affected by epistemic uncertainty. The main computational drawback of the forward uncertainty analysis is the large amount of Darcy flow simulation with input permeability random field. The aim of forward uncertainty analysis is the forecast and the evaluation of some quantities of interest. To reduce the computational demand and obtain a robust multiscale domain decomposition preconditioner accounting for uncertainties, we apply the reduced order model technique with scope of construct a real-time preconditioner method. The proposed reduced order method is based on uncertainty sampling and is capable to handle non-parametric configuration of permeability scenarios, which poses a challenge in reduced order methods. During my doctorate, I also promote and investigate a parallel research project on the reduced order methodology for "control-oriented method for IV generation nuclear reactor`` in collaboration with the Nuclear research center Enrico Fermi, the Sissa MathLab, the National Nuclear Institute and the Physics Department of Bicocca University. The main achievements obtained in this scientific collaboration are: a first deep comparison between reduced order methods oriented towards the control of nuclear core spatial dynamics and a pioneer introduction of certified reduced basis method in the nuclear engineering field. We have proposed an affine parametrization of time-dependent multi-group reactor spatial kinetics and of control rods of nuclear reactor, which influence the spatial dynamics, with the aim of performing a real-time control-oriented simulation of nuclear reactor. The certified reduced order method allows us to accurately reproduce the neutron flux distribution and the spatial effects induced by the movement of the control rods, and to efficiently perform the simulation with a significant speed-up of four order of magnitude with respect to the simulation of full system.

In questa tesi, consideriamo la simulazione numerica di flussi di Darcy in mezzi porosi che sono fortemente eterogenei e altamente oscillanti rispetto alle scale spaziali. L'obiettivo di questa simulazione è quello di fornire un metodo numerico in grado di predire la pressione in sistemi multi-strato con faglie e in scenari di discrete fracture network. Siccome il sistema algebrico ottenuto dalla discretizzazione del sistema di equazioni alle derivate parziali, che descrive il flusso di Darcy alla scala spaziale fine, è mal condizionato, l'utilizzo di un metodo iterativo precondizionato gioca un ruolo fondamentale nella risoluzione del sistema algebrico. In questa tesi, ci siamo concentrati sullo sviluppo di precondizionatori multiscala a due livelli di tipo Schwarz con sovrapposizione. Il principale obiettivo dei precondizionatori multiscala presenti in letteratura è la robustezza rispetto alla forte variazione di eterogeneità quando si considerano arbitrarie sia le discretizzazioni che le partizioni del dominio. In questa tesi, proponiamo un nuovo precondizionatore multiscala a tre stadi che è in grado di risolvere flussi attraverso formazioni di rocce altamente eterogenee, anche quando vengono utilizzati sotto-domini con sovrapposizioni irregolari e con minima sovrapposizione. Inoltre, essendo interessati a simulare flussi di Darcy in formazioni geologiche complesse e altamente eterogenee, quali depositi di rocce in presenza di faglie, il campo di permeabilità risulta affetto da incertezza epistemica. Il principale svantaggio nel condurre un'analisi dell'incertezza a priori risiede nel gran numero di simulazioni dirette dei flussi Darcy, aventi permeabilità rappresentata da un random field. L'obiettivo dell'analisi dell'incertezza a priori è quello di fornire una previsione e una valutazione di alcune quantità di interesse. Al fine di ridurre il costo computazionale e di ottenere un precondizionatore multiscala, che tiene conto dell'incertezza del mezzo sottostante, abbiamo applicato la tecnica di riduzione d'ordine e abbiamo costruito un precondizionatore multiscala real-time. Il metodo di riduzione d'ordine proposto è costruito utilizzando un campionamento incerto, la tecnica di “Proper Orthogonal Decomposition” e la procedura offline-online. La metodologia presentata risulta essere in grado di prendere in considerazione anche scenari di permeabilità non-parametrizzabili. Quest'ultimo tipo di scenario per la metodologia di riduzione dell'ordine viene considerato un problema aperto. Durante il mio dottorato, ho inoltro promosso e sviluppato un progetto di ricerca sulla metodologia dei metodi di riduzione dell'ordine per lo sviluppo di tecniche numeriche in grado di controllare in real-time il flusso neutronico e la reattività di un reattore nucleare di IV generazione. Il progetto si è svolto in collaborazione con il centro di ricerca nucleare Enrico Fermi del Politecnico di Milano, con l'unità di ricerca MathLab della Scuola Superiore degli Studi Avanzati (SISSA) e il dipartimento di fisica dell'Università Bicocca. I principali risultati raggiunti in questa collaborazione scientifica sono: un dettagliato confronto tra due modelli ridotti applicati al controllo della dinamica spaziale del nucleo di un reattore nucleare e la pionieristica introduzione in letteratura della applicazione delle basi ridotte nel contesto dell'ingegneria nucleare. Nelle applicazioni considerate, abbiamo proposto una parametrizzazione affine della cinetica spaziale multi-gruppo e della barra di controllo di un reattore nucleare. La posizione della barra di controllo influenza la dinamica spaziale. La simulazione con uso dei metodi di ordine ridotto permette di ottenere una simulazione in tempo-reale affidabile ed efficiente nel contesto di un controllo della dinamica spaziale di un reattore nucleare. Inoltre, la certificazione del metodo ridotto ci ha permesso di riprodurre in tempo-reale la distribuzione di flusso dei neutroni e gli effetti spaziali indotti dal movimento delle barre di controllo. Infine, grazie alla tecnica di riduzione dell'ordine, è stato possibile ottenere uno speed-up di quattro ordini di grandezza rispetto alla simulazione diretta del sistema di equazioni alle derivate parziali.