Discontinuous Galerkin Reduced Basis Element methods for parametrized partial differential equations in partitioned domains

In this thesis, a new discontinuous reduced basis element method suitable for the approximation of parametrized elliptic PDEs in partitioned domains is proposed and analysed. The method is built upon an offline stage (parameter independent) and an online (parameter dependent) one. In the offline stage a non-conforming (discontinuous) global reduced space is built as a direct sum of local basis functions generated independently on each subdomain. However, only local problems are solved to generate the basis functions. In the online stage, for any given value of the parameter, the approximate solution is obtained by (weakly) ensuring the continuity properties of the solution across interfaces thanks to a discontinuous Galerkin approach. For this reason, the method is referred to as discontinuous Galerkin Reduced Basis Element method (DGRBE). At first, the DGRBE method is presented in an abstract setting, by which it becomes effectively applicable to a wide class of differential problems. The focus is in particular on elliptic and Stokes equations. Besides the introduction of the method and the algorithm used to build the local bases, a detailed theoretical analysis is carried out, in which the stability and the approximation properties of the global reduced space are investigated. An \textit{a posteriori} error estimation strategy is also developed, in the case of elliptic problem, which allow to estimate the error committed by the DGRBE approximation with respect to a high-fidelity approximation. Finally, several numerical experiments are performed to assess the performance of the DGRBE method.

In questa tesi si propone e si analizza un nuovo metodo discontinuous reduced basis element adatto per l'approssimazione di equazioni alle derivate parziali definite su domini partizionati. Il metodo è suddiviso in due fasi computazionali: una fase "offline" ed una fase "online". Nella fase offline, uno spazio ridotto globale (discontinuo) non-conforme è costruito come somma diretta di funzioni di base locali, generate indipendentemente su ciascun sottodominio. E' importante sottolineare che per generare le basi locali vengono risolti solo problemi locali. Nella fase online, dato un valore del parametro, la soluzione approssimata è ottenuta imponendo (debolmente) le proprietà di continuità della soluzione attraverso le interfacce con un approccio di tipo discontinuous Galerkin. Per questa ragione ci si riferirà al metodo come "metodo discontinuous Galerkin Reduced Basis Element" (DGRBE). Il metodo DGRBE è dapprima presentato in un contesto astratto, in modo da renderlo applicabile ad una vasta classe di problemi. In questa tesi ci si occupa principalmente di problemi ellittici e di Stokes. Oltre all'introduzione del metodo e degli algoritmi usati per costruire le basi locali, si effettua anche una dettagliata analisi teorica, nella quale sono indagate le proprietà di stabilità e di approssimazione del metodo. Inoltre viene proposto uno stimatore a posteriori dell'errore, nel caso di problemi ellittici, che consente di stimare l'errore di approssimazione commesso dal metodo DGRBE rispetto ad una approssimazione high-fidelity. I risultati esposti sono accompagnati e verificati da numerosi esperimenti numerici.