Modelli anisotropi: analisi ed approssimazione numerica

Many engineering applications are characterized by the presence of a dominant direction in the evolution of the analyzed phenomenon, may it be caused by functional properties of the differential operator or by geometrical properties of the physical domain. Among the various examples, we can mention: flows through porous media (Darcy equation), flows in tubular domains (hemodynamics), meteorologic models and quantum mechanics models (giant magnetic-resistance). In the variety of available anisotropic models, for this work we chose to analyze differential models expressed by elliptic partial differential equations. First we introduce a partial regularity theory for the solutions of these problems. In particular we study a method by which fine estimates of the regularity of the solution may be derived, in the hypothesis of Lipschitz or Dini continuous coefficients in only one direction. We derive estimates for classic, weak and strong solutions. Secondly we introduce a new numerical method, proposed specifically for the solution of anisotropic models. This method takes advantage of simulations techniques which makes it possible to reduce the problem to a set of mono-dimensional differential problems: from this the name hierarchical model reduction. After the introduction of such a method and the study of its approximation properties in tensorial domains, we propose some generalizations that allow us to set this method in more geometrically complex domains, using, for example, domain decomposition technique. Going on, we also introduce some a posteriori estimators and the implementation of a procedure that can automatically set the parameters of the numerical method. In the end of this analysis, we also try to generalize the hierarchical model reduction methods for parabolic models. The thesis is concluded by some computational simulations that offer the opportunity for some tests on the theoretical analysis and some thoughts for future enhancements and developments.

Molte applicazioni ingegneristiche sono caratterizzate dalla presenza di una direzione dominante nell'evoluzione del fenomeno in esame, sia essa dovuta a proprietà funzionali dell'operatore differenziale o proprietà geometriche del dominio: esempi tipici sono i flussi in mezzi porosi (equazione di Darcy) o in geometrie tubolari (emodinamica), ma anche modelli meteorologici o propri della meccanica quantistica. Nella vasta gamma di modelli anisotropi disponibili in letteratura, in questo lavoro si è scelto di trattare principalmente modelli legati ad equazioni alle derivate parziali ellittiche. Inizialmente è introdotta una teoria di regolarità parziale per le soluzioni di questa classe di problemi differenziali. In particolare è studiato un approccio mediante il quale è possibile ottenere stime fini di regolarità parziale nel caso in cui i delle equazioni siano Lipschitziani o Dini-continui esclusivamente in una direzione. Le stime sono state ricavate per soluzioni classiche, deboli e forti. Successivamente è introdotto un metodo numerico di nuova concezione proposto recentemente in letteratura, atto specificamente all'approssimazione di soluzioni di problemi anisotropi. Questo si ispira tecniche di analisi e simulazione che comportano l'impiego unicamente di modelli unidimensionali, da cui il nome di riduzione gerarchica di modello. Dopo un'introduzione del metodo e delle sue proprietà di convergenza in domini a struttura tensoriale, sono proposte ed analizzate alcune possibili generalizzazioni del metodo di riduzione gerarchica per ambientare tale metodo anche in geometriche più complesse, servendosi di tecniche quali il metodo di decomposizione dei domini. Sono poi introdotti appositi stimatori a posteriori goal-oriented che permettono l'implementazione di una procedura automatica per la scelta dei parametri del metodo numerico. Infine questa analisi è esportata anche nel caso parabolico. Il lavoro è concluso da un capitolo contenente alcuni test numerici che offrono verifiche computazionali delle stime ottenute nella parte teorica.