Modi inerziali in un guscio sferico in rotazione

We investigate the properties of inertial modes in a rotating fluid inside a spherical rotating shell as viscosity tends to 0. This problem is tackled linearizing the equations of motion for an incompressible fluid around its static equilibrium, in the rotating reference frame. The study of such modes has applications in many fields, such as astrophysics (like planetary atmospheres and planetary cores) or geophysics (oceans), and it can also be of interest in engineering (like in the planning of the fluid-filled spinning spacecrafts). An important parameter is the Ekman number, which is a dimensionless number that measures the ratio of viscous force to Coriolis force. When the Ekman number is very low, the viscous action is effective only on extremely small scales; as a result, many length scales are present in the solution. From the point of view of a numeri\-cal resolution of the problem, the discretization must be very fine in order to take into account the lowest scales involved in the solution, and this makes the numeric problem extremely difficult. A graphic analysis of the numerical solutions shows that kinetic energy is concentrated along surfaces that follow the characteristic directions of the attractors of the inviscid hyperbolic problem; therefore, we note the existence of internal shear layers in addition to those of the border. Through numerical simulations we show that the damping rate of inertial modes scales with the cube root of the Ekman number. We study then the profiles of the velocity field across and along the characteristics and, in particular, we show that the width of the shear layers around attractors also scales with the cube root of the Ekman number.

Si studiano le proprietà asintotiche dei modi inerziali confinati in un guscio sferico in rotazione nel limite della viscosità tendente a zero. Tale problema viene affrontato linearizzando le equazioni per un fluido incomprimibile intorno allo stato di equilibrio statico, nel sistema di riferimento rotante. Lo studio di tali modi ha applicazioni in svariati ambiti, come l'astrofisica (si pensi alle atmosfere o ai nuclei planetari) o la geofisica (gli oceani), e si presta anche ad applicazioni più ingegneristiche (come ad esempio i serbatoi delle navicelle spaziali). Un parametro importante è il numero di Ekman, numero adimensionale che misura il rapporto fra la forza viscosa e quella di Coriolis. Quando la viscosità (e dunque il numero di Ekman) è molto bassa, essa agisce in modo efficace solo su scale estremamente piccole; di conseguenza molte scale di lunghezza diverse sono presenti nella soluzione. Pensando ad una risoluzione numerica del problema, la discretizzazione deve quindi essere molto fine per tenere conto delle scale più piccole in gioco, e questo rende il problema numerico estremamente complesso. Un'analisi grafica delle soluzioni numeriche mostra che l'energia cinetica si concentra lungo superfici che ricalcano le direzioni caratteristiche degli attrattori del problema inviscido iperbolico; si osserva dunque l'esistenza di strati limite interni oltre a quelli di bordo. Attraverso simulazioni numeriche si nota che il tasso di smorzamento dei modi inerziali scala come la radice cubica del numero di Ekman. Si studiano poi i profili del campo di velocità nelle direzioni parallele e perpendicolari alle caratteristiche e, in particolare, si trova che anche la larghezza degli strati limite attorno agli attrattori scala come la radice cubica del numero di Ekman.