The MatriHX : a matrix-based solver for plate and tube heat exchangers

The objective of this thesis project consists in developing and testing a Matlab code, named MatriHX, capable of simulating the plate-and-tube heat exchanger performances by determining the temperature and pressure fields of the fluid system and thus evaluating the thermal power exchanged. The approach followed to solve the heat exchanger problem is that of discretizing the spatial domain into a dense grid where, for each control volume, the LMTD method is applied through enthalpy balance equations on both sides coupled with pressure drop equations, so that temperature and pressure fields are simultaneously determined. The modeling of the problem through a spatial discretization and the physical continuity of temperatures and pressures over the whole grid leads to define a system of non-linear equations to describe the problem. The solution method is therefore based on iterative procedures involving the system vector of residuals and the Jacobian sparse matrix which are the mathematical objects describing the heat exchanger solving model. In order to create a compact code structure, as well as to boost its computational performance, it has been decided to implement a matrix approach which implies to handle all the variables and functions as matrix objects, whose size is bound to the number of rows of the heat exchanger and the grid density set by the user. The system independent variables are matrices of temperature and pressure through which all the other matrix variables are evaluated, such as enthalpies, densities, physical properties and transfer coefficients. In comparison to commercial software such as Aspen EDR and corporate software, the MatriHX code is able to manage heat transfer problems where multi-component condensation occurs through an appropriate section of code for vapour-liquid equilibrium calculation and to simulate heat exchangers performances where a finned insert is applied to reduce the global dimensions of the device itself. The testing of the MatriHX code has been performed through four test cases proposed by DECA S.r.l and adopting Aspen EDR as the reference software for the code verification: two heat exchangers processing liquid water and dry air and two humid-air dehumidifying coils involving vapour-liquid equilibrium. The MatriHX code has then be exploited to evaluate the performance of a process heat exchanger of company interest, where the multi-component condensation occurs, and finally to size the heat recovery section for the gas-liquid cycle under investigation at Politecnico di Milano, outlining the advantages of helium rather than argon as working fluid or the application of internally finned tubes.

Il presente lavoro di tesi ha lo scopo di presentare e discutere un codice numerico sviluppato nell'ambiente di programmazione di Matlab, battezzato come ``MatriHX'', capace di simulare le prestazioni di scambiatori di calore a pacco alettato con disposizione controcorrente e gestire l'eventuale condensazione multicomponente di miscele, sia per il flusso interno che per quello esterno. La tesi è stata sviluppata nell'ambito di un progetto di stage svolto presso Deca S.r.l, azienda partner del Politecnico di Milano, specializzata nella progettazione e produzione di scambiatori di calore e coinvolta in lavori di ricerca in collaborazione con il Dipartimento di Energia. Il codice realizzato si configura come l'estensione e l'affinamento di un precedente programma numerico in cui veniva affrontato il problema dello scambio termico su un singolo tubo tramite un approccio di tipo sequenziale, in virtù del quale il dominio spaziale monodimensionale veniva suddiviso in tanti volumi di controllo quante erano le alette del tubo e tramite un ciclo iterativo si calcolava la potenza termica elementare scambiata su ciascuno di essi, sino a stimare la potenza termica totale come somma di tali contributi. Il codice MatriHX invece, oltre che applicarsi ad un dominio tridimensionale rappresentante lo scambiatore nella sua interezza, adotta un approccio risolutivo alternativo che consiste nel determinare i campi di temperatura e pressione mediante un unico sistema di equazioni non lineari. Da un punto di vista computazionale, un approccio di questo tipo consente di realizzare un codice decisamente più veloce che giunge a convergenza in tempi brevi anche in presenza di sistemi articolati che vengono descritti da un elevato numero di equazioni. La modellizzazione del problema tramite un unico sistema di equazioni, permette di considerare simultaneamente tutti i volumi di controllo; il raggiungimento della soluzione numerica è ottenuto mediante la minimizzazione di un vettore di residui definiti tramite equazioni di bilancio energetico, di quantità di moto ed equazioni di connessione su temperatura e pressione fra un volume di controllo e il successivo lungo la linea di flusso. La risoluzione numerica viene affidata alla routine fsolve di Matlab, in cui la minimizzazione dei residui che si raggiunge a convergenza è il risultato di un ciclo iterativo eseguito tramite le indicazioni fornite dalla matrice Jacobiana, ossia l'oggetto matematico che dal punto di vista numerico permette di aggiornare continuamente la direzione e il passo con cui individuare la soluzione finale, rappresentata da una matrice di temperatura e una di pressione. La matrice Jacobiana che descrive il sistema merita certamente alcune considerazioni a parte: essa infatti si presenta come una matrice sparsa di grandi dimensioni in cui tuttavia, una volta definito con precisione l'ordinamento delle equazioni, è possibile identificare una struttura regolare e ripetibile che può essere quindi opportunamente indicizzata mediante la creazione di un pattern; in questo modo il codice, durante la sua esecuzione, riesce a risparmiare memoria e offre prestazioni computazionali superiori in quanto le derivate numeriche sono calcolate solo per gli elementi non nulli dello Jacobiano. Un ulteriore accorgimento è stato previsto per ridurre al minimo il numero di operazioni eseguite ad ogni iterazione e rendere quindi l'esecuzione del codice più rapida: esso consiste nel predefinire le derivate analitiche già note, come quelle relative alle equazioni di connessione e alle condizioni al contorno, in modo che il risolutore debba differenziare numericamente le equazioni solo dove strettamente necessario. L'approccio risolutivo appena descritto ha suggerito di definire le proprietà fisiche, termodinamiche, i coefficienti di scambio e le variabili del problema in generale, come oggetti vettoriali e più precisamente come matrici le cui dimensioni, dipendenti dal numero di ranghi dello scambiatore e dalla finezza della griglia di discretizzazione, devono corrispondere tra loro. Nella definizione dei residui, se si escludono le equazioni di connessione, si può osservare che le variabili fondamentali del sistema sono certamente il coefficiente globale di scambio termico U, calcolato mediante la funzione ucoeff, e le entalpie specifiche fornite dalla funzione VLE. La funzione ucoeff, oltre che tener conto dell'eventuale condensazione sul lato esterno, racchiude l'implementazione di varie correlazioni di scambio in maniera da rendere il codice versatile, ossia adeguato alla simulazione di diverse configurazioni di scambiatori. La funzione VLE dall'altra parte, implementa il calcolo dell'equilibrio liquido-vapore mediante due metodi diversi: il primo è quello indiretto che segue l'approccio semplificato di Raoult e che può essere ritenuto soddisfacente solo quando sussistono rigorosamente le condizioni di idealità della miscela, mentre il secondo è il metodo diretto phi/phi in cui vengono utilizzate le equazioni cubiche di stato secondo la formulazione di Soave-Redlich-Kwong e che meglio si presta ad un calcolo più raffinato della composizione delle fasi da cui dipende l'entalpia specifica della miscela. Oltre alla capacità di trattare la condensazione multicomponente durante lo scambio termico, il codice realizzato presenta come ulteriore elemento di novità la possibilità di effettuare simulazioni di scambiatori in cui è applicato un inserto alettato sul lato interno, così da incrementare la conduttanza termica globale specialmente quando i gas hanno coefficienti di scambio ridotti. L'impiego di tali inserti consentirebbe di ridurre in maniera considerevole le dimensioni degli scambiatori a parità di prestazioni richieste, sebbene considerazioni non trascurabili di natura tecnica associate alla loro applicazione e di natura economica legate ai costi di produzione, andrebbero fatte nell'ottica di un loro effettivo utilizzo. Dopo aver testato le principali funzioni di MatriHX, ossia ucoeff e VLE, mediante il confronto con dati bibliografici per la prima e miscele di riferimento per la seconda, l'intero codice è stato sottoposto a verifica tramite delle simulazioni generate dal software commerciale Aspen EDR relative a batterie di riscaldamento e deumidificazione di aria tramite acqua liquida realizzate da Deca S.r.l. La più che soddisfacente accordanza tra i risultati di MatriHX e quelli di Aspen ha reso possibile la sfruttamento del codice al fine di dimensionare uno scambiatore di interesse aziendale per il quale è prevista condensazione multicomponente e uno destinato alla sezione di recupero termico di un ciclo gas-liquido in corso di studio presso il Dipartimento di Energia del Politecnico di Milano. Il lavoro di tesi ha inoltre previsto una fase di progettazione del banco sperimentale che sarà realizzato nei successivi mesi il cui scopo è quello di ottenere una conferma sperimentale della validità delle correlazioni implementate in ucoeff e soprattutto verificare i vantaggi derivanti dall'applicazione dell'inserto alettato, così da formulare una stima ancora più attendibile circa il risparmio di superficie e volume dell'intero scambiatore. La fase di progettazione, oltre che consistere nella definizione del layout dell'apparato sperimentale e degli strumenti di misura in esso presenti, ha incluso anche l'individuazione del profilo ottimale dell'inserto ossia il numero di alette e la loro altezza adimensionale tramite delle apposite simulazioni realizzate in Matlab ed effettuate mediante le correlazioni a disposizione. La geometria ottimale individuata sarà quindi quella effettivamente prodotta e testata nel banco prova nel corso della campagna sperimentale di raccolta dati.