Pedestrian-footbridge dynamic interaction: uncoupled analysis using a MSD model

In the last years, the need for structures able to link the functional and aesthetic role has led to the design of new flexible footbridges characterised by a low ratio between permanent and variable loads making them more sensitive to dynamic loads, such as the forces transmitted by pedestrians. During the human walking, the pedestrian moves on a flexible structure adapting his gait to the bridge motion. The interaction between pedestrian and footbridge takes place at the contact points, where the pedestrian transmits contact forces to the bridge that, in turn, imposes a set of displacements and velocities to the pedestrian’s feet. In the straightforward approach to the problem, both systems should be described as mechanical systems, having proper mass, stiffness and damping matrices. In fact, only the description of the human being as a mechanical system allows for the derivation of the equation of motion of the bridge-pedestrian coupled system. In the light of above, in this work a large effort has been devoted to the analytical formulation of a walking human-body mechanical system. A new bipedal pedestrian mechanical model is proposed, to the aim of providing a simple SDOF system able to satisfy two main requirements. First of all, the model must reproduce the human locomotion, incorporating both the single and the double support phases. Secondly, its equation of motion must take into account both the interaction with the bridge and the biomechanical force acting on it. The analytical formulation of the HSI interaction involves the derivation of the bridge-pedestrian coupled equations of motion accounting for all the relevant phenomena involved. Bridge and pedestrian are described with a finite number of DOFs. Due to the pedestrian motion, the structural matrices of the coupled system are time-dependent and should be modified whenever the pedestrian’s foot position on the bridge changes. The proposed alternative solution strategy is based on the forced uncoupling of the system, based on the key assumption that the contact points between pedestrian and bridge deck are massless. The uncoupled formulation considers the footbridge and the pedestrian as two separate sub-systems, reducing the computational burden associated to the time-varying properties of the matrices of the coupled system. Moreover, different mechanical systems can be adopted to model the pedestrian, without modifying the analytical formulation. A staggered solution, iterative in principle, is adopted to integrate the uncoupled equations. The analytical procedure has been implemented in a numerical code, named INTER2.0, able to consider the pedestrian as a dynamic force or a mechanical system. In the numerical implementation, the bridge is modelled using a commercial code, with the FE method, and the bridge geometry is considered correctly without any approximation. The program reads in input both the bridge structural matrices and the pedestrian dynamic properties needed to assembly the MSD matrices or the feet forces. The FE element approach for the bridge modelling and the uncoupled formulation enable to consider both different pedestrian’s models (force or mechanical system) and type of bridges. Thus, INTER 2.0 should be seen as a general purpose code and a useful tool to study the HSI between a footbridge and pedestrians. In more detail, the code can consider groups of pedestrians having different spatial configurations, degree of synchronization, dynamic properties and step frequencies. The pedestrians can freely walk following a rectilinear trajectory parallel to the bridge axis, with a xp coordinate inside the deck grid. Thus, in general the pedestrian position does not coincide with a mesh node. To overcome this problem, a set of proper shape functions (SFs) is introduced to transform the contact forces into equivalent nodal loads. The SFs are a function of the pedestrian’s position x(t), and are governed by the pedestrian’s movement algorithm. Furthermore, the inter-variability, in terms of step frequency, is taken into account through a probabilistic model able to correlate the pedestrians on the bases of their mutual distance. The case study adopted in this work is a suspended footbridge in Seriate (Italy), whose dynamic properties were identified through an experimental campaign also encompassing the structural response under the crossing by different groups of pedestrians. In this thesis a bridge FE model has been developed, based on the as-built design data. A non-linear static analysis has been performed to take into account the additional geometric stiffness matrix which, added to the elastic stiffness matrix, gives the total stiffness. A numerical procedure has been proposed to determine the fictitious temperature increments simulating the pre-stressing effects on the suspension system. At the end of the non-linear static analysis, a modal analysis has been performed. The correlation between experimental and numerical modal parameters turned out to be fully satisfactory. The agreement between experimental and numerical bridge response under moving pedestrians has validated the analytical formulation, while the comparison between a closed-form solution and the numerical one has validated the numerical implementation. Numerical analyses have addressed the effect, on the bridge response, of a few parameters: distance between pedestrians, correlation in terms of step frequency and spatial distribution. The results due to groups of pedestrians walking along different eccentric trajectories have highlighted the relation between the bridge mode excited and the pedestrians’ position. Furthermore, the importance of the frequencies correlation and its dependence on the people configurations have been studied, comparing the bridge accelerations due to a group of pedestrians, having step frequencies either correlated or uncorrelated and different spatial configurations (uniform grid and pseudo-random grid).

Il nuovo stile di progettazione inerente le passerelle pedonali, diffusosi largamente negli ultimi decenni, ha permesso di trovare il giusto equilibrio tra due aspetti talvolta contrastanti: la funzionalità e la cura della forma architettonica. Tuttavia, le passerelle di nuova generazione, sebbene in alcuni casi dei vari capolavori dell’architettura, risultano caratterizzate da un’elevata flessibilità che le rende particolarmente sensibili ai carichi dinamici indotti dai pedoni. Quando un essere umano cammina sopra una struttura flessibile, come può essere l’impalcato di una ponte pedonale, tende ad adattare la propria andatura in base al moto percepito alla base dei piedi. L’interazione tra i due sistemi, ponte da una parte e pedone dall’altra, avviene in corrispondenza dei punti di contatto: l’uomo durante l’atto di camminare trasmette delle forze alla struttura, la quale, a sua volta impone un moto alla base dei piedi dell’essere umano. Un approccio rigoroso al problema richiede che entrambi i sistemi siano descritti mediante sistemi meccanici, aventi opportune matrici di massa, rigidezza e smorzamento. La descrizione dell’essere umano mediante un sistema meccanico è infatti l’unica che permette lo studio dell’interazione dinamica tra i due sistemi. Alla luce di tale premessa, nella presente tesi di dottorato, è stata prestata particolare attenzione alla formulazione analitica del sistema meccanico del pedone che cammina. Il modello proposto è un semplice sistema meccanico ad un grado di libertà, avente due gambe parallele, in grado di soddisfare due requisiti fondamentali. Il primo concerne la corretta riproduzione della camminata umana, tenendo conto sia le fasi di contatto singolo (un solo piede a terra) che di doppio contatto (due piedi a terra). Il secondo invece riguarda la scrittura della sua equazione del moto, la quale deve essere in grado di considerare sia l’interazione con il ponte che la corretta formulazione della forza biomeccanica fittizia agente sul suo centro di massa. La formulazione teorica dell’interazione dinamica uomo-struttura comporta la derivazione delle equazioni del moto per il sistema accoppiato ponte-pedone mediante un numero finito di gradi di libertà. A causa del moto del pedone, che varia nello spazio e nel tempo, le matrici strutturali del sistema accoppiato risultano essere tempo-varianti e dovrebbero essere modificate ogni qualvolta la posizione dei piedi del pedone cambiano. Per ovviare a tale problema, sfruttando l’ipotesi che i punti di contatto tra pedone e ponte siano puntiformi e privi di massa, si è adottata una soluzione alternativa che trova uno dei suoi punti di forza nel disaccoppiamento forzato del sistema. La formulazione disaccoppiata considera la passerella e l’essere umano due sotto-sistemi separati, andando così a ridurre l’onere computazione associato alle proprietà tempo-varianti delle matrici del sistema accoppiato. Inoltre, un grosso vantaggio dell’approccio disaccoppiato è quello di poter variare il sistema meccanico del pedone senza dover riscrivere l’intera formulazione analitica. Le equazioni del moto sono state integrate adottando un approccio, all’occorrenza iterativo, di tipo step by step. L’intera procedura analitica è stata implementata all’interno di un codice numerico, chiamato INTER 2.0, in grado di considerare il pedone sia come un set di due forze dinamiche che come un sistema meccanico. Nell’implementazione numerica, la modellazione ad elementi finiti del ponte fa sì che le geometria del ponte possa essere considerata nella sua interezza senza introdurre nessun tipo di approssimazione. Il programma legge in ingresso sia le matrici strutturali della passerella che le proprietà dinamiche del pedone, quest’ultime necessarie sia se si vuole descrivere il pedone come sistema meccanico sia se si vuole adottare un modello di forze. Il metodo agli elementi finiti per la modellazione della struttura unito alla formulazione disaccoppiata permette sia di considerare nuovi modelli di pedone, siano essi espressi come forzante che come sistema meccanico, sia di adottare diverse tipologie di ponte. Per tali ragioni, INTER 2.0 può essere visto come un programma aperto e non vincolato ad un unico modello di ponte o pedone diventando così un utile strumento per studiare l’interazione dinamica uomo-struttura. Entrando nello specifico, il codice è in grado di considerare sia un pedone singolo che un gruppo di pedoni. In quest’ultimo caso, i pedoni possono avere diverse configurazioni spaziali, diversi gradi di sincronizzazione e diverse frequenze di passo. Il pedone può camminare seguendo una traiettoria rettilinea coincidente o meno con una fila di nodi costituenti la mesh dell’impalcato. Perciò, in generale la posizione del pedone non andrà obbligatoriamente a coincidere con un nodo della mesh. Per superare tale problema, sono state introdotte delle funzioni di forma che permettono di trasformare le forze di contatto in forze nodali equivalenti. Tali funzioni dipendono dalla posizione x(t) assunta dal pedone e sono governate dall’algoritmo che gestisce il movimento del pedone. Inoltre il fenomeno “dell’inter-variability” è stato considerato, solo per quanto concerne la frequenze del passo, introducendo un modello probabilistico capace di correlare i pedoni in base alla loro distanza reciproca. Il caso studio adottato è la passerella sospesa di Seriate (Italia), le cui proprietà dinamiche sono state identificate durante una campagna sperimentale avente anche l’obiettivo di valutare la sua risposta al passaggio di diversi gruppi di pedoni. Sulla base delle tavole di progetto è stato possibile ricrearne un modello agli elementi finiti. La sua analisi non-lineare ha permesso di considerare il contributo della matrice di rigidezza geometrica addizionale, la quale sommata alla matrice di rigidezza elastica, ha permesso di ricavare la matrice di rigidezza totale. La pretensione nel sistema di sospensione è stata ottenuta applicando delle variazioni termiche fittizie, i cui valori sono stati ricavati mediante una procedura numerica ad-hoc. Infine, l’analisi modale, effettuata dopo l’analisi non-lineare, ha fornito le frequenze naturali e i modi di vibrare della struttura. La correlazione tra le proprietà modali identificate sperimentalmente e quelle ricavate con il modello numerico risulta essere ottima. La bontà della formulazione analitica è stata verificata confrontando le accelerazioni massime sperimentali indotte dal passaggio di 4 pedone con quelle numeriche ottenute con il medesimo numero di pedoni. Mentre la corretta implementazione è stata verificata confrontando una soluzione in forma chiusa con la soluzione numerica. Inoltre, sono state effettuate diverse analisi numeriche aventi l’obiettivo di investigare come diversi parametri (distanza tra pedoni, correlazione tra frequenze e distribuzione spaziale) influenzino la risposta del ponte. I risultati ottenuti con gruppi di pedoni aventi eccentricità differente hanno permesso di studiare se esiste una relazione tra la posizione in pianta dei pedoni e i modi eccitati. Per analizzare quanto incide la correlazione tra le frequenze dei pedoni si sono confrontate le accelerazioni massime prodotte da un gruppo di pedoni, avente frequenze sia correlate che perfettamente scorrelate.