Mathematical and numerical modeling of blood flow in an idealized left ventricle

Cardiovascular and, specifically, heart diseases represent the leading cause of mortality in western countries. Thus, rigorous investigations of the complex bio-mechanical processes governing the circulatory system, both in physiological and pathological conditions, are potentially useful to support diagnoses, clinical decisions, and definitions of therapies. Recently, mathematical and computational models have taken an active and important role in providing accurate descriptions of the physiology of the cardiovascular system. Modeling the blood flow inside the heart is challenging because of the large deformations experienced by the chambers in consequence of complex electrical-fluid-structure interactions and the flow regime that varies during the heartbeat from laminar to transitional, and eventually turbulent. The human left ventricle plays the fundamental role of distributing oxygenated blood to the body. Herein, the blood flow, mathematically described by the Navier-Stokes equations in Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation, is mainly regulated by the action of the mitral and aortic valves. In this thesis, I propose a simplified but realistic treatment of the valves functioning as boundary conditions for the Navier-Stokes equations. This leads to some mathematical and numerical challenges. Indeed, the modeling of the open and closed configurations of the valves involves the treatment of boundary conditions switching from essential to natural and viceversa during each heartbeat. From the numerical point of view, a treatment based on a standard numerical method, e.g. the Finite Element method, calls for the use of time varying function spaces depending on the location and the measure of the boundary where the essential boundary conditions are applied, which varies in time. In order to tackle this problem, I introduce mixed time varying boundary conditions for the Navier-Stokes equations and I propose a new numerical approach with time independent function spaces based on the Extended Nitsche’s method with spatial discretization using either Isogeometric Analysis or Finite Element methods. A theoretical analysis is performed for a simplified problem, namely a scalar parabolic Partial Differential Equation. Then, the proposed methodology is applied to the blood flow in the left ventricle, yielding a mathematical problem defined by the Navier-Stokes equations with mixed time varying boundary conditions, the latter weakly enforced at the numerical level by means of the Extended Nitsche’s method. An extensive and critical analysis of the results is proposed for two- and three-dimensional numerical simulations of blood flow idealized left ventricles. The results are validated against those, experimental and computational, available in literature and critically discussed in terms of both instantaneous and phase-averaged quantities of interest in hemodynamics. Moreover, the analysis of the role and the choice of the parameters defining the Extended Nitsche’s method and the role of the mixed time varying boundary conditions in preventing the insurgency of backflow instabilities at the valves is presented and discussed. Three-dimensional numerical simulations of blood flow in an idealized left ventricle are performed in a High Performance Computing setting.

I disturbi cardiovascolari e, in particolare, le patologie cardiache rappresentano una delle cause più diffuse di mortalità nella società occidentale. Per tale motivo, una rigorosa indagine dei complessi processi bio-meccanici che regolano il sistema circolatorio, in condizioni sia fisiologiche che patologiche, può essere potenzialmente utile nel progresso della diagnostica e nel supporto alla decisione clinica e alla definizione di terapie. Recentemente, i modelli matematici e computazionali hanno acquisito un ruolo importante nel fornire descrizioni accurate della fisiologia del sistema cardiovascolare. Tuttavia, la modellazione del flusso sanguigno all’interno del cuore costituisce un soggetto di ricerca arduo a causa di molteplici fattori tra cui le significative deformazioni delle camere cardiache dovute al complesso processo di interazione elettrico-fluido-strutturale e al regime del fluido che durante un ciclo cardiaco varia da laminare a transizionale, fino ad essere turbolento. Il ventricolo sinistro è la parte del cuore che gioca un ruolo fondamentale nell’apparato cardio-circolatorio umano distribuendo il sangue ossigenato all’intero corpo. All’interno di questa cavità il flusso sanguigno, descritto dalle equazioni di Navier-Stokes in formulazione arbitraria Lagrangiana-Euleriana, è regolato principalmente dall’azione delle valvole mitrale ed aortica. In questa tesi, si propone un trattamento semplificato, ma realistico del funzionamento delle valvole come condizioni al contorno per le equazioni di Navier-Stokes. Ciò, tuttavia, conduce a considerare un problema molto complesso, sia dal punto di vista matematico che numerico. Infatti, la modellazione delle configurazioni valvolari aperta e chiusa porta a considerare condizioni al contorno la cui natura cambia in modo intermittente da essenziale a naturale durante ogni ciclo cardiaco. Dal punto di vista numerico, il trattamento di queste condizioni al contorno attraverso un metodo numerico standard, come il metodo ad Elementi Finiti, richiede l’introduzione e l’utilizzo di spazi funzionali che varino nel tempo in funzione della posizione e della misura della porzione di bordo su cui sono imposte condizioni essenziali, che variano nel tempo. Per poter affrontare questo problema, in questa tesi vengono introdotte condizioni al contorno miste-tempo dipendenti e si propone un nuovo approccio numerico con spazi funzionali indipendenti dal tempo, basato sul metodo di Nitsche Esteso. La discretizzazione spaziale considerata è basata sia sugli Elementi Finiti che sull’Analisi Isogeometrica. L’analisi teorica del metodo proposto è effettuata su un problema semplificato, un’equazione differenziale alle derivate parziali parabolica scalare. In seguito, il metodo è applicato allo studio del flusso sanguigno all’interno del ventricolo sinistro, conducendo alla formulazione di un problema definito dalle equazioni di Navier-Stokes con condizioni al contorno miste-tempo dipendenti, queste ultime imposte debolmente a livello numerico attraverso il metodo di Nitsche Esteso. Un’estesa analisi critica è presentata per i risultati ottenuti da simulazioni numeriche del flusso sanguigno in ventricoli sinistri idealizzati per i casi bi- e tri-dimensionali. La validazione dei risultati è effettuata tramite il confronto con la letteratura, sia sperimentale che computazionale, attraverso l’analisi critica di quantità di interesse in emodinamica, sia istantanee che mediate. Inoltre è presentata l’analisi del ruolo e della scelta dei parametri che definiscono il metodo di Nitsche Esteso ed è discussa la capacità della formulazione proposta per le condizioni al contorno miste-tempo dipendenti nel prevenire la possibile insorgenza di instabilità numeriche dovute a flusso retrogrado ai bordi corrispondenti alle sezioni delle valvole.