Stability properties of evolution systems with memory

The dominating theme of this thesis is the study of the stability properties of dynamical systems, with particular interest towards evolution systems with memory arising from relevant models in Mathematical Physics. Our analysis is mainly oriented to models encompassed by a suitable abstract memory equation, which generates a semigroup of solutions on a proper Banach space endowed with a further component accounting for the presence of memory. The focus of this work is not restricted to a specific model. Indeed, the most interesting part is perhaps the development of new theoretical tools for the asymptotic analysis of dynamical systems. The investigation concerns both linear and nonlinear models. Concerning linear dynamical systems, we introduce new techniques allowing to analyze the decay properties of linear semigroups arising from systems where operators not admitting compact inverse are present. Concerning nonlinear dynamical systems, we consider a memory equation in abstract form and we establish a general scheme to prove the existence of exponential attractors. With relatively little effort, we apply our abstract result to one of the most important models with memory: the equation of viscoelasticity. Finally, we address an innovative matter concerning the study of equations with time-dependent memory kernels. Aiming to give a more faithful description of the behavior of aging viscoelastic materials, we propose a modified version of the equation of viscoelasticity (just mentioned) introducing a suitable time-dependence in the memory kernel. Owing to this new feature, this model cannot be handled exploiting the classical tools for memory equations. We provide a well-posedness result for the problem, with the purpose of laying the foundations for the study of the longterm behavior of the solutions.

Tema dominante di questa tesi è lo studio delle proprietà di stabilità di sistemi dinamici, con particolare interesse verso sistemi di evoluzione con memoria che hanno origine da modelli rilevanti in Fisica Matematica. La nostra analisi è soprattutto orientata a modelli che possono essere ricondotti ad un’opportuna equazione astratta con memoria, la quale genera un semigruppo di soluzioni su un appropriato spazio di Banach dotato di un’ulteriore componente che tiene conto della presenza della memoria. L’obiettivo del lavoro non è ristretto all’analisi di uno specifico modello. Infatti, la parte più interessante è forse lo sviluppo di nuovi strumenti teorici per l’analisi asintotica dei sistemi dinamici. Lo studio riguarda modelli lineari e non lineari. Circa i sistemi dinamici lineari, introduciamo nuove tecniche per analizzare le proprietà di decadimento di semigruppi lineari che nascono da sistemi dove sono presenti operatori che non ammettono inverso compatto. Circa i sistemi dinamici non lineari, consideriamo un’equazione di memoria in forma astratta e stabiliamo uno schema generale per dimostrare l’esistenza di attrattori esponenziali. Applichiamo quindi tale risultato astratto ad uno dei più importanti modelli con memoria: l’equazione della viscoelasticità. Infine, ci concentriamo su una tematica innovativa che riguarda lo studio di equazioni con nuclei di memoria dipendenti dal tempo. Con l’obiettivo di fornire una descrizione più realistica del comportamento dei materiali viscoelastici, proponiamo una versione modificata dell’equazione della viscoelasticità (appena menzionata) introducendo un’opportuna dipendenza dal tempo nel nucleo di memoria. Per via di questa nuova caratteristica, questo modello non può essere studiato utilizzando gli strumenti classici per le equazioni con memoria. Dimostriamo un risultato di buona positura del problema, con l’obiettivo di gettare le basi per lo studio del comportamento asintotico delle soluzioni.