Numerical approximation of an optimal control problem with random inputs arising in cardiac electrophysiology

In this master thesis work we formulate, analyze and solve an optimal control problem with elliptic PDE constraint which arises in cardiac electrophysiol- ogy. When dealing with biological applications, it often happens that the coefficients used in the equations have been obtained in an empirical fashion or are patient-specific. In order to cope with this fact, uncertainty in the parameters is taken into account by reformulating our equations and the cost functional to be minimized as a PDE optimization problem under un- certainty. The aim of the application we consider is to reconstruct the shape of ischemias in the myocardium, if any is present, from measurements of elec- trical potential on the torso. In our problem the control variable encodes the presence of an ischemia, and the state variable is the extra-cellular electrical potential during the resting phase of the heart cycle, for which a stationary model is derived. The effectiveness of the proposed PDE optimization models is investi- gated numerically and the cases with and without uncertainty in the coeffi- cients are compared in a variety of test cases.

In questo lavoro di tesi viene formulato, analizzato e risolto numericamente un problema di controllo ottimo vincolato da EDP, di interesse nell’ambito dell’elettrofisiologia cardiaca. Una caratteristica comune delle applicazioni della matematica in biologia o medicina è il fatto che, spesso, i coefficienti che intervengono nelle equazioni sono stati ricavati empiricamente o sono specifici di un particolare paziente. Abbiamo dunque preso in considerazione questa incertezza nei parametri riformulando le equazioni del nostro modello ed il funzionale costo con coefficienti stocastici, ottenendo quindi la formulazione di un problema di controllo ottimo con incertezza. L’applicazione considerata è la localizzazione di ischemie nel miocardio, ottenuta attraverso misure di potenziale elettrico sul torso. Nel nostro prob- lema, la funzione di controllo identifica la presenza di un’ischemia, mentre come variabile di stato viene usato il potenziale elettrico extra-cellulare du- rante la fase di riposo del ciclo cardiaco, per il quale viene derivato un modello stazionario. L’efficacia dei modelli proposti viene studiata numericamente, compara- ndo i casi deterministico e con incertezza in una serie di casi test.