Ottimizzazione di portafogli con costi di transazione

In this thesis we consider portfolio optimization under transaction costs, of only proportional kind and of fixed plus proportional kind. In the first case we will have a singular stochastic control problem, characterized by a variational inequality HJB with gradient constraints. In the second case we will have a parabolic impulse control problem, characterized by a quasi variational inequality HJBQVI, that will be solved finding a sequence of optimal stopping problems. We will solve numerically the first problem by using a penalty method, while for the second one we will use a projected SOR method, always discretizing the derivatives with the finite differences method coupled with the upwind scheme. We will find the free boundaries for both problems, i.e. the Buying Boundary and the Selling Boundary, and between them the No Trading Region, where transactions should not be done. For the problem with only proportional costs it will be possible to change the model for the evolution of the risky assets, from the geometric Brownian motion to the exponential Lévy. Then we will study the sensitivity with respect to the jump parameters for the model used, the Merton Jump Diffusion.

In questa tesi ci occupiamo di ottimizzazione di portafogli con costi di transazione, sia proporzionali puri che fissi più proporzionali. Nel primo caso otterremo un problema di controllo singolare stocastico, caratterizzato da una disuguaglianza variazionale HJB con vincoli del gradiente. Nel secondo otterremo un problema parabolico di controllo impulsivo, caratterizzato da una disuguaglianza quasi variazionale HJBQVI, la quale verrà risolta trovando una successione di problemi di optimal stopping. Risolveremo numericamente il primo problema servendoci del penalty method, mentre per il secondo useremo il projected SOR, dicretizzando sempre le derivate con le differenze finite combinate con lo schema upwind. Troveremo quindi per entrambi i problemi le frontiere libere, cioè la Buying Boundary e la Selling Boundary, trovando di conseguenza in mezzo a queste la No Trading Region, dove è ottimale non effettuare transazioni. Per il problema di costi proporzionali puri sarà possibile modificare il modello di evoluzione dei titoli rischiosi da moto Browniano geometrico ad exponential Lévy, quindi verrà studiata la sensitivity rispetto ai parametri del modello di salto usato, il Merton Jump Diffusion.