Particle finite element method : 3D Lagrangian compressible Navier Stokes

The possible formation of an arc of plasma in the interrupters is an important engineering problem that can cause damage to the devices themselves. It is a magnetohydrodynamics (MHD) phenomenon that requires, for its description, both the compressible Navier-Stokes and the Maxwell's equations. First of all it is fundamental to obtain a fast solver for compressible fluids that after can be coupled with Maxwell's equations to solve the complete MHD problem. Therefore we will define the compressible lagrangian Navier Stokes equations, both in the strong and in the weak forms. Furthermore, in order to capture the shock waves, an artificial viscosity method will be exploited. Then the weak formulation will be discretized in space using the Particle Finite Element Method and in time using the explicit Euler method. We will take also advantage of the Mass Lumped method, making the discretized system dyagonal. Then the code will be tested, referring to the academic case of the sod test, examining also its possible parallelization. Nevertheless in the sod test the distortion of the mesh is not so problematic. So more complex problems, as the bubble and the triple point tests, have to be addressed. In order to regularize the excessive distortion of the mesh, two methods will be investigated: the redefinition of connectivity and the interpolation. In the redefinition of connectivity, the nodes positions are fixed, while the elements are rebuild. In the interpolation, results are mapped on the initial regular mesh. The second strategy is less general but produces better solutions both in terms of computing and accuracy. Finally the interpolation approach is improved for phenomena whose high variations are localized in a small region of the domain. Indeed it is possible to build a really refined box in which the variations are described, leaving the remaining mesh quite rough. Then when the interested phenomenon changes its position, the box is consequently moved. This method could be exploited for the faster solution of the arc of plasma, that can be encapsulated in the moving refined mesh.

La possibile formazione di un arco di plasma all'interno degli interruttori è un importante problema ingegneristico che può portare anche al danneggiamento dei dispositivi medesimi. Il problema in questione appartiene alla magnetoidrodinamica (MHD) e richiede, per essere descritto, sia le equazioni comprimibili di Navier-Stokes sia le equazioni di Maxwell. Anzitutto è fondamentale ottenere un veloce solutore per fluidi comprimibili che successivamente può essere accoppiato con le equazioni di Maxwell, così da risolvere l'intero problema MHD. Per questa ragione, nella presente tesi, ci si focalizzerà unicamente sulla parte di fluidodinamica. Si introducono allora le equazioni di Navier Stokes comprimibile in forma lagrangiana, sia nella forma forte che in quella debole. Al fine di catturare le onde di shock, si modificano le equazioni tramite un metodo di viscosità artificiale. Poi la formulazione debole viene discretizzata in spazio, utilizzando gli Elementi Finiti, e in tempo, utilizzando la versione di Eulero esplicito delle Differenze Finite. Successivamente si sfrutta il metodo del Mass Lumping, rendendo il sistema diagonale e molto veloce da risolvere. Dopo di ciò, si va a testare il codice e la sua possibile parallelizzazione, riferendosi al caso test Sod. Tuttavia nel test di Sod, la distorsione della mesh non risulta creare particolari problemi. Pertanto si vanno a studiare casi più complessi, come il bubble test ed il triple point test. Al fine di regolarizzare l'eccessiva distorsione della mesh, si mettono a confronto due metodi: la connettività e l'interpolazione. Nella ridefinizione della connettività, si ricreano gli elementi della mesh, lasciando inalterati i nodi. Nell'interpolazione, si mappano le quantità nodali sulla mesh regolare iniziale. Questa ultima strategia è meno generale, ma garantisce, quando applicabile, migliori soluzioni in termini di accuratezza e velocità di calcolo. Infine si migliora il metodo dell'interpolazione per fenomeni le cui variazioni significative siano localizzate in una piccola regione del dominio. Si costruisce infatti una mesh a forma di scatola molto fitta, in cui si colloca il fenomeno, mentre la restante parte del dominio è descritta da una mesh più grezza. Poi, quando il fenomeno di interesse cambia posizione, si muove la scatola di conseguenza. Questo metodo potrebbe essere utilizzato anche per la risoluzione dell'arco di plasma, che potrebbe venire incapsulato nella mesh mobile molto raffinata.