PGD and HiPOD solutions of geometrically parameterized Stokes flow in haemodynamics

The more and more frequent cardiovascular diseases which affect the world population are one of the main reasons of the increasing interest in haemodynamic modeling. In particular, in this work, we focus on the Stokes flow in a parameterized geometry which models Abdominal Aortic Aneurysms (AAA). The resolution of this kind of problems via traditional numerical approximation methods demands a considerable computational effort. For this reason, two model order reduction techniques are here considered: the Proper Generalized Decomposition (PGD) and the Hierarchical Model reduction (HiMod) driven by a Proper Orthogonal Decomposition criterion (HiPOD). The common goal of these techniques is to reduce the computational complexity of the problem without compromising the description of the phenomenon at hand, thus furnishing a trade-off between accuracy and reliability. After a theoretical description of the two model reduction methods, we apply them separately to the Stokes problem, first on a generic parameterized geometry, and then on a parameterized geometry modeling the Abdominal Aortic Aneurysms. The solutions are compared with the corresponding reference solutions, which, for the PGD method coincide with a standard finite element approximation, while, for HiPOD, are represented by the standard Hierarchical reduced model.

Le sempre più numerose patologie cardiovascolari che affliggono la popolazione mondiale rappresentano una delle principali motivazioni ai recenti sviluppi nella modellistica emodinamica. In particolare, in questa tesi abbiamo considerato il flusso di Stokes in una geometria parametrizzata che modellizza un Aneurisma dell’Aorta Addominale (AAA). La soluzione di questo tipo di problemi mediante l’utilizzo di metodi tradizionali di approssimazione numerica richiede un notevole sforzo computazionale. Per questa ragione sono introdotti in questa tesi due metodi di riduzione di modello: la Proper Generalized Decomposition (PGD) e la Riduzione Gerarchica di Modello (HiMod) guidata da un algoritmo di tipo POD (HiPOD). L’obiettivo comune di queste tecniche è quello di ridurre la complessità computazionale del problema senza compromettere la descrizione del fenomeno in esame, fornendo in tal modo un trade-off tra accuratezza ed affidabilità. Dopo una descrizione teorica di queste due tecniche di riduzione di modello, le applichiamo separatamente alle equazioni di Stokes, prima su una generica geometria parametrizzata e successivamente su una geometria parametrizzata che modellizza un Aneurisma dell’Aorta Addominale. Le soluzioni così ottenute sono confrontate con le rispettive soluzioni di riferimento che, nel caso della PGD, coincide con una soluzione standard agli elementi finiti, mentre, per il metodo HiPOD, è rappresentata dalla soluzione fornita dal metodo di riduzione gerarchica di modello standard.