Hierarchical model reduction for parameter-dependent problems : application to the Navier-Stokes equations

Many engineering problems, such as the modelling of the blood flow in arteries, exhibit dominant dynamics often related to a leading direction in the phenomenon under investigation or in the computational domain. The solution of this kind of problems via traditional numerical approximations is often too demanding in terms of computational costs. For this reason, recently several reduced order methods have been developed in order to contain the computational costs without compromising the accuracy of the computed solution. In particular, in this work we focus on Hi-POD techniques, obtained by the combination of two reduced order methods: the Hierachical Model reduction (Hi-Mod) and the Proper Orthogonal Decomposition (POD). The goal is to combine the reliability typical of a Hi-Mod approximation with the computational efficiency characterizing a POD algorithm. In this thesis we aim at generalize the Hi-POD method, so far applied to two-dimensional advection-diffusion-reaction problems, to three dimensional problems and to more complex problems such as the Navier-Stokes equations in a two-dimensional setting.

Molti problemi ingegneristici, come ad esempio la modellizzazione del flusso sanguigno nelle arterie, presentano dinamiche dominanti associate ad una direzione preferenziale nel fenomeno in esame o nel dominio computazionale di interesse. La risoluzione di questo tipo di problemi mediante le tradizionali tecniche di approssimazione numerica può, però, essere spesso troppo onerosa da un punto di vista computazionale. Per questo motivo, recentemente sono state sviluppate diverse tecniche di riduzione di modello volte a contenere i costi computazionali senza rinunciare all'accuratezza della soluzione così calcolata. In questa tesi ci focalizziamo, in particolare, sul metodo Hi-POD, nato dalla combinazione di due differenti metodi di riduzione di modello: la Riduzione Gerarchica di Modello (Hierarchical Model reduction, Hi-Mod) e la Proper Orthogonal Decomposizion (POD). L'obiettivo è quello di unire l'affidabilità di una approssimazione Hi-Mod all'efficienza computazionale propria dell'algoritmo POD. In questa tesi ci proponiamo di estendere i risultati finora raggiunti con la tecnica Hi-POD nell'ambito dell'approssimazione di problemi bidimensionali di diffusione-trasporto-reazione a problemi tridimensionali e più complessi come le equazioni di Navier-Stokes in un contesto bidimensionale.