Uncertainty quantification and its application for interference prediction in wire structures

Uncertainty quantification is an important topic in statistical electromagnetic compatibility (EMC) analysis. In this work, we study the algorithm, implementation and performance of four widely used non-intrusive uncertainty quantification methods, namely, Monte Carlo (MC), Polynomial Chaos Expansion (PCE), Stochastic Collocation (SC) and the Stochastic Reduced Order Method (SROM). In particular, these methods are applied to crosstalk and field to wire coupling problems to verify their performance for EMC analysis in wire structures. The greatest merit of non-intrusive methods is that they do not require to change the deterministic solution method for the considered problem, which is needed to obtain the statistical solution through repeated runs. For instance, in this work deterministic solutions for crosstalk and field to wire coupling are obtained through a well-known multiconductor-transmission line (MTL) model, in three different forms: a) low-frequency approximation, b) weak-coupling assumption and c) exact solution of MTL equations. The latter solution is used to address the implementation of different non-intrusive uncertainty quantification methods described in the following. First, the statistical analysis focuses on univariate input variables. The principles of MC method are presented and relevant results are considered as a reference to assess the performance of other methods. The algorithms of both PCE and SC methods are based on orthogonal polynomial theory. In particular, the Wiener-Askey scheme is introduced to indicate the optimal choice of polynomial basis for PCE implementation, while coefficients of PCE polynomial terms are obtained through Galerkin projection. For SC method, the Gauss points are determined by roots of corresponding polynomial series, and Lagrange interpolation is used to generate analytic approximation function. Moreover, we introduce the pattern classification algorithm for SROM subset extraction and analyze the statistic propagation of SROM method. Results provided by the above methods are compared with reference to case studies for crosstalk analysis. Since practical statistical EMC problems always involve many sources of input randomness, the uncertainty quantification methods are then extended to the case of multivariate variables. To this aim, the easiest procedure makes use of the tensor product, which is here applied for both PCE and SC methods. Its limitations (e.g., the so called “curse of dimension”) and an alternative “sparse grid” method are also addressed in this work. Concerning multivariate SROM analysis, a little modification of the implementation procedure is required, and different factors affecting its computational efficiency are analyzed. Crosstalk problems with multivariate inputs are studied via the aforementioned methods, and a comparison of results is proposed to point out pros and cons of each different approach. The final part of thesis is dedicated to the deterministic and statistic prediction of field to wire coupling. To get the deterministic solution of field to wire coupling, we start with the Faraday’s law and conservation of charge to develop transmission-line equations including distributed sources accounting for the incident field. Then, these equations are solved (by applying an analogy with the standard solution method for state-variable differential equations), leading to an equivalent circuit at external ports of the transmission line. Such a deterministic solution is particularized with reference to a uniform plane-wave incident field. Statistic results are analyzed under the assumption that incident wave angles are random inputs. Three different cases, which represent a fully unknown incident wave, quasi-vertical, and quasi-horizontal polarization, respectively, are discussed to predict the statistics of currents induced in terminal loads. Finally, concluding remarks propose a critical discussion of results and highlight the robustness of non-intrusive uncertainty quantification methods, which prove to be suitable for the analysis of typical EMC problems.

La stima dell’incertezza è una parte importante di ogni analisi statistica svolta nell’ambito della compatibilità elettromagnetica. In questo lavoro, abbiamo studiato l’algoritmo, l’implementazione e le prestazioni dei seguenti quattro metodi non intrusivi per la valutazione dell’incertezza: Monte Carlo (MC), Polynomial Chaos Expansion (PCE), Stochastic Collocation (SC) e Stochastic Reduced Order Method (SROM). In particolare, questi approcci sono stati applicati a tipici problemi di compatibilità elettromagnetica quali la diafonia e la suscettibilità radiata in strutture filari. In generale, i metodi non intrusivi sopra descritti hanno il grande vantaggio di non richiedere modifiche ai metodi di soluzione deterministici, necessari per ottenere la statistica delle soluzioni attraverso la costruzione di popolazioni (insiemi di variabili casuali) tramite simulazioni ripetute. Per esempio, in questo lavoro le soluzioni deterministiche per i problemi di diafonia e suscettibilità radiata sono ottenuti tramite l’applicazione del ben noto modello a parametri distribuiti detto “linea di trasmissione multiconduttore”, in tre diverse formulazioni: a) soluzione approssimata per linee elettricamente corte; b) soluzione sotto l’ipotesi di accoppiamento debole, c) soluzione generale delle equazioni delle linee. Nello specifico, la soluzione generale è stata scelta per l’implementazione di tutti i metodi non intrusivi descritti nel seguito. Inizialmente, l’analisi statistica è stata svolta considerando problemi caratterizzati da una sola variabile aleatoria in ingresso (caso uni-variato). I principi di base del metodo MC sono stati presentati, e i risultati sono considerati come riferimento per valutare le caratteristiche degli altri metodi proposti. Fra questi, sia i metodi PCE che i metodi SC sono basati sulla teoria dei polinomi ortogonali. In particolare, è stato introdotto lo schema di Wiener-Askey per trovare la scelta ottima dei polinomi nell’implementazione PCE, mentre i coefficienti dei termini dell’espansione PCE sono stati ottenuti mediante proiezioni di Galerkin. Per il metodo SC, i punti di Gauss sono stati determinati a partire dalle radici delle corrispondenti serie polinomiali; l’interpolazione di Lagrange è stata utilizzata per generare funzioni analitiche approssimanti. Inoltre, abbiamo introdotto degli algoritmi di classificazione di pattern per le estrazioni di sottosistemi per SROM, e abbiamo analizzato la propagazione statistica dei metodi SROM. I risultati ottenuti con i metodi precedenti sono stati confrontati e criticamente discussi, considerando tipici esempi applicativi nell’ambito di problemi di diafonia. Dato che i problemi di compatibilità elettromagnetica coinvolgono spesso molte variabili aleatorie, la stima dell’incertezza è stata estesa a casi multi-variati. A tal fine, il metodo più facile prevede l’applicazione del concetto di prodotti tensoriale ai metodi PCE e SC. Le limitazioni di questo approccio (per esempio, la cosiddetta “curse of dimension”) sono state discusse, e un metodo alternativo detto “sparse grid” è stato presentato. Per quanto riguarda le analisi SROM multi-variabile, solo alcune piccole modifiche nella fase di implementazione si sono rese necessarie rispetto al caso uni-variato, e sono state studiate le cause che influenzano l’efficienza del metodo. La diafonia è stata studiata introducendo più di un parametro aleatorio e utilizzando e confrontando i metodi citati in precedenza. La parte conclusiva della tesi è dedicata alla predizione deterministica e statistica della suscettibilità radiata, con specifico riferimento all’accoppiamento fra una linea di trasmissione (un conduttore sopra ad un piano di massa) e un campo elettromagnetico irradiato. È possibile trovare la soluzione deterministica a partire dalla legge di Faraday e del principio di conservazione della carica, così da sviluppare equazioni delle linee di trasmissione che includano termini di sorgente distribuiti che tengono conto dell’accoppiamento con il campo elettromagnetico incidente. Queste equazioni possono essere agevolmente risolte (applicando una notevole analogia matematica con il metodo classico di soluzione delle “equazioni di stato”) per giungere alla definizione di due modelli circuitali equivalenti. Questa soluzione deterministica è quindi stata particolarizzata per il caso di campo elettromagnetico costituito da un’onda piana uniforme. Ipotizzando che i parametri dell’onda (per esempio, direzione di incidenza) siano aleatori, si è definito un tipico problema statistico da analizzare mediante i metodi proposti. In particolare, abbiamo analizzato la statistica della corrente indotta nella linea in tre diverse configurazioni: onda incidente completamente sconosciuta (angoli di incidenza e polarizzazione aleatori), polarizzazione quasi verticale e quasi orizzontale. Infine, il capitolo conclusivo analizza criticamente e comparativamente le caratteristiche dei metodi non intrusivi proposti per la stima dell’incertezza, evidenziando la loro robustezza, versatilità ed adattabilità per effettuare analisi statistiche nel settore della compatibilità elettromagnetica.