High precision integration methods and N-body stability analysis

The majority of the dynamical systems that are analyzed in the field of astrodynamics and orbital mechanics do not possess an analytical solution. Hence the need to seek for approximations as faithful as possible through numerical integration. In this thesis two methods offering several advantages in the long term integration of the Newtonian gravitational N-body model are chosen: Lie series and symplectic. Both possess a problem dependent formulation that gives the possibility to improve them. The Lie series formulation is extended to a rotating reference frame, often adopted in the study of the coupled attitude and orbital dynamics. Through a polyhedral model of the rigid body formulations for the solar perturbation and for the gravity gradient are also developed. The symplectic integrator is analyzed searching for optimal coefficients in terms of cost of the method. Various simulations on the solar system are performed in Heliocentric coordinates comparing real and complex coefficients both for methods of full order and for methods of the class ABA and BAB. At the end both integrators are adopted in the stability study of the family of DRO in the Earth-Moon system, proper of the circular restricted three body problem. The study is performed integrating the variational equations in the case of the Lie series method and the tangent maps in the case of the symplectic method adopting, as tool to distinguish regular to chaotic region, the MEGNO indicator. The system is then extended introducing an ellipsoidal model for the third body thus coupling gravitationally attitude and orbital motion and including external perturbations from other planets. Differences with respect to a short period analysis based on the monodromy matrix and the Poincaré maps are then underlined.

La maggior parte dei sistemi dinamici che vengono studiati nel campo dell'astrodinamica e della meccanica orbitale non posseggono una soluzione analitica, ne consegue la necessità di cercare approssimazioni il più fedeli possibili tramite integrazione numerica. In questo lavoro di tesi vengono scelti due metodi che offrono diversi vantaggi nell'integrazione di lungo periodo del modello gravitazionale Newtoniano a N-corpi: serie di Lie e simplettico. Entrambi posseggono una formulazione dipendente dal problema considerato offrendo in tal modo la possibilità di essere migliorati. La formulazione del metodo alle Serie di Lie viene estesa a un sistema di riferimento rotante, spesso utilizzata per lo studio della dinamica d'assetto accoppiata a quella orbitale. Tramite un modello poliedrico del corpo rigido formulazioni per la perturbazione solare e per il gradiente di gravità vengono anch'esse sviluppate. L'integratore simplettico viene analizzato tramite la ricerca di coefficienti in grado di ottimizzare il costo del metodo. Varie simulazioni sul sistema solare vengono effettuate in coordinate Eliocentriche confrontando coefficienti reali e complessi sia per i metodi ad ordine completo che per i metodi della forma ABA e BAB. Alla fine entrambi gli integratori vengono utilizzati per studiare la stabilità della famiglia delle DRO nel sistema Terra-Luna, propria del problema circolare ristretto dei tre corpi. Lo studio viene fatto integrando le equazioni variazionali nel caso delle serie di Lie e le mappe tangenti nel caso simplettico utilizzando, come strumento per distinguere le regioni regolari da quelle caotiche, l'indicatore MEGNO. Il sistema viene poi esteso introducendo un modello elissoidale di corpo rigido accoppiando gravitazionalmente dinamica orbitale e di assetto e perturbazioni esterne di altri pianeti. Le differenze rispetto ad un analisi di corto periodo basata sulla matrice di monodromia e sulle mappe di Poincaré vengono evidenziate.