Innovative models and methods for geoscience

In this thesis we develop new mathematical models and methods useful for different geological applications. First, we propose a new model, the Coupled Multiscenario Full Waveform Inversion (CMFWI) method, to tackle the seismic inversion problem and, in particular, to improve the accuracy of the classical Full Waveform Inversion method (FWI). We compare the two methods for different choices of the parameters, initial guesses of the solution and signal-to-noise ratios of the records. Moreover, the effects of a total variation regularization are analyzed. Successively, we consider the seismic inversion problem as a parameter identification problem. The parameterized Helmholtz equation is solved via a reduced order method, the Proper Generalized Decomposition method (PGD). Both material and geometric parameters are considered as unknowns of the identification. Once the PGD solution is computed, any new solution associated with a new choice of the parameters can be easily and quickly computed via a simple evaluation of the PGD solution. The results are shown for different choices of the parameters involved in the PGD method. Finally, we focus on crack propagation in brittle materials, modeled via the generalized Ambrosio-Tortorelli approximation. We extend the method proposed by Artina et al. for the classical Ambrosio-Tortorelli approximation (AT) to the generalized case proposed by Burke et al. In particular, anisotropic mesh adaptation driven by an a posteriori anisotropic error estimator is performed. The consistency with respect to the work by Artina et al. is shown and the sensitivity of the method with respect to the parameters is studied. Moreover, a comparison with the isotropic case shows that we can obtain the same qualitative results with a lower number of mesh elements.

In questa tesi si sviluppano nuovi modelli e metodi matematici utili per diverse applicazioni geologiche. In primo luogo, proponiamo un nuovo modello, il metodo Coupled Multiscenario Full Waveform Inversion (CMFWI), per affrontare il problema di inversione sismica e, in partiticolare, per migliorare la precisione del metodo Full Waveform Inversion classico (FWI). Confrontiamo i due metodi per diverse scelte dei parametri, guess iniziali della soluzione e rapporti segnale-rumore delle registrazioni. Inoltre, vengono analizzati gli effetti di una regolarizzazione di tipo variazione totale. Successivamente, consideriamo il problema di inversione sismica come un problema di identificazione di parametri. L'equazione di Helmholtz parametrizzata è risolta tramite il metodo Proper Generalized Decomposition (PGD). Vengono considerati come incognite da identificare sia parametri materiali che geometrici. Una volta che la soluzione PGD è stata calcolata, qualsiasi nuova soluzione associata ad una nuova scelta dei parametri può essere facilmente e rapidamente calcolata con una semplice valutazione della soluzione PGD. I risultati sono mostrati per diverse scelte dei parametri legati al metodo PGD. Infine, ci siamo concentrati sulla propagazione di fratture in materiali fragili, modellata tramite l'approssimazione di Ambrosio-Tortorelli generalizzata. Estendiamo il metodo proposto da Artina et al. per il caso Ambrosio-Tortorelli classico (AT) al caso generalizzato, proposto da Burke et al. In particolare, viene utilizzata l'adattazione di griglia anisotropa, guidata da uno stimatore a posteriori dell'errore. Viene illustrata la consistenza rispetto al lavoro di Artina et al. e la sensibilità del metodo rispetto ai parametri. Inoltre, un confronto con il caso isotropo dimostra che si possono ottenere gli stessi risultati qualitativi con un minor numero di elementi di griglia.