Single Monte Carlo forward solver for the analysis of diffuse reflectance in turbid media

This work is the result of nine months of research carried out at the University of California, Irvine, where I have worked for the Virtual Photonics Technology Initiative. This was established by the Laser Microbeam and Medical Program (LAMMP), an NCRR National Biomedical Technology Center at the Beckman Laser Institute and Medical Clinic in April 2008, to develop improved computational models to simulate and design optical diagnostic, imaging, and therapeutic modalities for research and educational purposes. One of the richest fields of research in biomedical optics relies on the fact that light can be used for the diagnosis of illness or to study and monitor specific features of a biological tissue. When a light signal is shine on a biological tissue its characteristics are modified by the optical properties of the medium. Although biological tissues are extremely complex structures and microscopically very heterogeneous, for a large variety of applications homogenous models allow to evaluate within good accuracy their interaction with light. During the last years a multitude of techniques and systems have been developed to collect the signal emitted by the probed tissue and to analyze it in order to extract the optical properties of a medium. This is generally done comparing experimental measurements to the results of a mathematical model that provides the trend of the output signal relying on the features of the input signal, on the optical properties of the probed tissue and on the characteristics of the measurement system. Once that the optical properties are determined they can be related to the tissue morphology, biochemical composition and physiological state. In this context, my work focuses on the further development and characterization of the single Monte Carlo (sMC) method, which is a mathematical model that describes the relationship between the measured light signal and the optical properties of the tissue under investigation. The project I have carried out consists in the theoretical investigation, design and development of the single Monte Carlo model, based on advanced discretization techniques and on Non-Uniform-Rational-Bsplines (NURBS) interpolation. The sMC model was presented by Kienle and Patterson [1] who showed how a reference reflectance, Rr (r; t), measured from a Monte Carlo simulation for a non-absorbing medium with a specific value of the scattering coefficient, could be used to derive R(r; t) for any arbitrary value of the optical properties. The potential of the sMC model relies in the fact that its analytical nature allows to overcome the computational burden associated to standard Monte Carlo simulations without the need of any approximations that are required for other approaches, such as the standard diffusion approximation. iii iv To evaluate the reference signal from a MC simulation it is necessary to discretize the measurement domain, thus the reference is obtained only for a finite set of nominal values. As a result the sMC approach requires the interpolation of the reference values in order to evaluate R(r; t) for an arbitrary value of the optical properties. Both the discretization and the interpolation processes lead to errors that affect the accuracy of the sMC model. While sMC has been widely used by the biomedical community, a clear theoretical framework has never been presented to support the origin of the scaling relations. Once these are established one is in a better position to evaluate the effects of binning and interpolation on the subsequent errors. The objective of this work is to (i) establish a full analytical justification of the sMC method based on the Radiative Transport Equation; (i i) investigate the intrinsic limitations of the sMC method; (i i i) evaluate the effect of binning and of interpolation on the accuracy of the derived results; (iv ) investigate the accuracy of the implemented sMC model for a wide range of optical properties and (v ) test its capability of solving inverse problem for the determination of optical properties of biological tissues.

Questo lavoro di tesi è il risultato di nove mesi di ricerca condotti presso la University of California, Irvine, dove ho lavorato per la Virtual Photonics Technology Initiative. Questa è stata fondata presso il Beckman Laser Institute con lo scopo di sviluppare modelli computazionali per lo studio e il design di tecniche per la diagnosi ottica o per lo sviluppo di applicazioni terapeutiche della luce. Uno dei campi di ricerca più sviluppati nel contesto dell’ottica biomedica riguarda l’utilizzo di segnali luminosi per diagnosi di patologie e per il monitoraggio dello stato fisiologico di tessuti biologici. Quando un tessuto biologico viene illuminato da un segnale ottico, le caratteristiche del segnale vengono modificate in base alle proprietà ottiche del mezzo che possono essere misurate analizzando questa variazione. Anche se i tessuti biologici sono strutture estremamente complesse e altamente eterogenee, per molte applicazioni è possibile utilizzare modelli omogenei per studiare l’interazione con segnali luminosi caratterizzati da una lunghezza d’onde nel vicino infrarosso. Negli ultimi anni sono state sviluppate innumerevoli tecniche e sistemi che permettono di misurare e analizzare segnali ottici riflessi da tessuti biologici. Tali sistemi consentono la misura delle proprietà ottiche che vengono determinate comparando misure sperimentali con i risultati provvisti da un modello matematico che calcola il segnale di riflettanza sulla base del segnale di sonda, delle proprietà ottiche del mezzo analizzato e del sistema di misura. Una volta quantificate le proprietà ottiche è possibile risalire allo stato morfologico, alla composizione chimica e allo stato fisiologico del tessuto. In questo contesto, il mio lavoro è focalizzato sullo sviluppo e sulla caratterizzazione del metodo ’single Monte Carlo’ (sMC). Questo è un modello matematico che descrive la relazione tra il segnale luminoso riflesso da un mezzo torbido e le sue proprietà ottiche. Il progetto di cui mi sono occupato consiste nell’indagine teorica, nel design e nello sviluppo del modello sMC, basato sull’utilizzo di avanzate tecniche di analisi e discretizzazione di dati stocastici e su interpolazione tramite Non- Uniform-Rational-Bsplines (NURBS). Il metodo sMC, presentato da A. Kienle e M.S. Patterson nel 1996, si basa sulla rielaborazione del segnale di riflettanza ottenuto tramite una singola simulazione Monte Carlo, in un mezzo non-assorbente con uno specifico valore del coefficiente di scattering, per ottenere la riflettanza per un valore arbitrario delle proprietà ottiche. Il potenziale del metodo sMC si basa sul fatto che la sua natura analitica permette di evitare il carico computazionale associato a tradizionali simulazioni Monte Carlo, senza la necessità di alcuna approssimazione che ne limiti l’applicabilità. vii viii Per calcolare il segnale di referenza tramite una simulazione MC è necessario discretizzare il dominio fisico dove il segnale viene misurato solo per un set finito di valori nominali. Di conseguenza il metodo sMC richiede l’interpolazione di questi valori discreti per effettuare il calcolo del segnale di riflettanza per un valore arbitrario delle proprietà ottiche. Entrambi i processi di discretizzazione e di interpolazione sono causa di errori che condizionano la precisione dei risultati ottenuti tramite il modello single Monte Carlo. Il metodo sMC è stato largamente utilizzato dalla comunità biomedica, tuttavia una giustificazione teorica della sua validità non è mai stata pubblicata. La necessità di fornire una dimostrazione rigorosa di questo metodo risiede nel fatto che essa permette la comprensione dei suoi limiti intrinsechi e permette un’analisi accurata degli errori di discretizzazione e di interpolazione. L’obbiettivo di questo lavoro consiste (i) nel fornire una giustificazione teorica esaustiva del metodo sMC basata sulla Equazione del Trasporto Radiativo, (i i) nel presentare uno studio delle sue limitazioni intrinseche sulla base di un indagine statistica, (i i i ) nel valutare l’effetto che diverse tecniche di discretizzazione e di interpolazione hanno sulla precisione dei risultati forniti dal modello, (iv ) nell’analizzare in maniera dettagliata l’accuratezza del modello sMC implementato per il calcolo di segnali di riflettanza per un ampio range di proprietà ottiche e (v ) nel valutare le potenzialità del modello implementato per la misura di proprietà ottiche di tessuti biologici tramite l’analisi di misure di riflettanza risolte in spazio e in tempo.