Modelli numerici per il pricing di opzioni con costi di transazione e volatilità stocastica

I limiti del modello di Black e Scholes (B&S) per il pricing di derivati hanno evidenziato la necessità di utilizzare altri metodi per tenere in considerazione alcuni aspetti importanti. In questo elaborato in particolare verrà superato il limite legato alla volatilità; quest'ultima è considerata costante nel modello di B&S mentre qui verrà considerata come processo aleatorio. Verranno inoltre presi in considerazione i costi di transazione, in quanto è irrealistico considerarli trascurabili. L'introduzione della volatilità stocastica e dei costi di transazione renderanno il modello più completo. Computazionalmente questo modello è però più complicato da risolvere: come vedremo, infatti, introdurre la volatilità stocastica comporta un aumento della dimensione del problema. L'introduzione dei costi rende inoltre il problema non più lineare, saranno infatti presenti dei termini non lineari. Una volta analizzati questi modelli, essi vengono estesi aggiungendo agli stessi un termine di salto [IF14]. Questa componente è fortunatamente indipendente dal resto e quindi può essere aggiunta a parte dopo aver considerato dei termini costanti aggiuntivi all'interno delle PDE che derivano dal modello di partenza [MM15]. Verrà infine fatta un'analisi dei vari modelli in termini di convergenza e stabilità e verranno confrontati i vari modelli tra di loro e con i risultati ottenuti da implementazioni differenti [MM15].