Teoria di Bloch per cristalli e quasi-cristalli con interazioni di Fermi

Lo studio delle proprietà fisiche dei solidi, e in particolare dei cristalli, ha rappresentato uno dei più grandi successi della fisica quantistica nel ventesimo secolo. Ha permesso di progettare i componenti contenuti nei dispositivi elettronici che utilizziamo ogni giorno, ma ha anche applicazioni in tecnologie di frontiera, come la superconduttività. Alla base di questi studi c'è la teoria di Bloch per mezzi periodici, la quale sfruttando semplicemente la simmetria traslazionale dei solidi cristallini ne permette di determinare alcune proprietà spettrali essenziali. Purtroppo però non esiste una teoria analoga per strutture che possiedano simmetrie differenti da quella traslazionale, come i quasicristalli. Essi rappresentano una novità nell'ambito fisico, dato che nel 1984 è stato creato il primo esemplare artificiale e solo nel 2009 è stato osservato il primo naturale. Questa classe di solidi si distingue dai cristalli perché nonostante possiedano una struttura deterministica con diverse simmetrie, eccetto quella traslazionale. Con i cristalli però condividono la loro struttura spettrale a bande, questa loro proprietà infatti a portato a modificare la definizione di cristallo, basata sulla struttura dello spettro e non sulla geometria. Solo recentemente sono state sviluppate teorie più generali basate sulle strutture noncommutative introdotte da Connes. Quindi dopo aver introdotto la teoria di Bloch per i cristalli, mostreremo come sia possibile generalizzarla nel caso di quasicristalli. Successivamente indagheremo l'utilizzo di tali teorie nel caso particolare di interazioni puntuali, dette anche pseudopotenzili di Fermi. Tali modelli rappresentano un'idealizzazione delle interazioni fisiche che avvengono a distanze molto brevi rispetto alle lunghezze caratteristiche del problema. Sarà verificato che in tal caso la gran parte delle proprietà sia determinata dalla geometria del problema, mostrando come le posizioni dei centri di interazioni e l'operatore di Schrödinger, associato all'osservabile energia, siano in corrispondenza biunivocai.