Topology optimization of self-assembling anisotropic materials

It is well established that in nature elastic bodies that have to resist to mechanical loading exhibit the spontaneous development of micro-structures (think for instance of the sponge structure of bones). In this thesis the possibility of realizing micro-structures by use of diblock copolymers, linear chain molecules made of two subchains joined covalentely to each other, is considered. When such binary mixtures undergo a critical temperature, they spontaneously arrange in regular and periodic structures of some nanometres characteristic length. The process is described by a nonlocal version of the Cahn-Hilliard equation, the Cahn-Hilliard-Oono equation, which can be regarded as the gradient flow in a suitable Sobolev space of the Ohta-Kawasaki functional. The numerical solution of this equation allows to predict and control pattern formation. A two-scales topology optimization problem is formulated: at the microscale Cahn-Hilliard-Oono equation rules the pattern formation, while at the macroscale the equilibrium configuration of the elastic body is determined by the linear elasticity equation. Homogenization theory is employed to link the two scales. By controlling the parameters that rule the diblock copolymers phase separation, the typology and orientation of these patterns is locally optimized, in order to maximize the elastic response of a macroscopic body. At the same time the shape of the body is optimized, with the constraint of the total mass. To solve numerically the PDEs that govern the two scales, as well as the PDEs associated with the homogenization of the stiffness tensor, the finite elements method (FEM) is employed. To tackle discontinuities in the state plane of diblock patterns, a multi-material problem is formulated, and consequently a new algorithm that generalizes the Optimality Conditions method for topology optimization to the multi-material case is developed.

È ben noto che in natura, quando un corpo elastico deve sopportare un carico meccanico, si assiste alla formazione spontanea di microstrutture (si pensi ad esempio alla struttura spugnosa delle ossa). In questa tesi viene considerata la possibilità di realizzare delle microstrutture mediante l'utilizzo di diblock copolymer, molecole formate da due sotto catene legate fra di loro in modo covalente. Quando una miscela di diblock copolymer discende al di sotto di una temperatura critica, vengono a formarsi in maniera spontanea delle strutture ordinate e periodiche, con una lunghezza caratteristica di qualche decina di nanometri. Questo processo è descritto da una variante non locale dell'equazione di Cahn-Hilliard (equazione di Cahn-Hilliard-Oono), che può essere letta come il flusso gradiente in un opportuno spazio di Sobolev del funzionale di Ohta-Kawasaki. La simulazione numerica di quest'equazione permette di prevedere la formazione di pattern, ma anche di controllarla mediante la scelta di alcuni parametri. In questa tesi viene considerato un problema di ottimizzazione topologica a due scale: alla microscala l'equazione di Cahn-Hilliard-Oono guida la formazione del pattern, mentre alla macroscala la configurazione di equilibrio del corpo elastico è determinata dall'equazione di elasticità lineare. Mediante la teoria dell'omogeneizzazione viene modellizzata la reciproca interazione fra le due scale. Controllando i parametri che regolano la formazione delle microstrutture, si vogliono ottimizzare localmente la topologia e l'orientamento dei pattern, in modo da massimizzare la rigidezza della struttura. Nello stesso tempo viene ottimizzata la forma del corpo, assegnata la massa totale. Per la risoluzione numerica delle PDE che governano le due scale e delle PDE legate all'omogeneizzazione del tensore di elasticità viene usato il metodo degli elementi finiti (FEM). Per gestire le discontinuità presenti nel quadro di stato dei diblock copolymer viene formulato un problema multi-materiale, per la cui risoluzione numerica viene sviluppato un algoritmo che generalizza il metodo delle condizioni di ottimalità (OC) al caso multi-materiale.