Hierarchical model reduction with isogeometric approximation applied to data assimilation

In engineering and science fields, many problems pass through an initial phase of identifying with a reasonable accuracy the parameters underlining the equations modelling the system or phenomenon. Besides the accuracy, a second important concern is the amount of time and computational power required to interpret the available data and to retrieve a significant result. Data assimilation (DA) is the science that tackles this kind of problem and tries to bring the best solution with minimum compromise to the identification problem, either trying to reshape better the models or adapting the identification procedure to the collected data. In particular to this work, we study the impact and efficiency of applying Hierarchical Model Reduction with Isogeometric Analysis (HigaMOD) technique on data assimilation applications. The goal is to analyse the improvement from the computational cost point of view of the DA algorithms when the model of the system is significantly reduced by the HigaMOD technique. We aim in this thesis to extend the HigaMOD technique, largely exploited in the solution of elliptic problems, to the solution of parabolic partial differential equations and generalize its application to the Data Assimilation methods. The results obtained were accessed using two-dimensional advection-diffusion-reaction problems in different configurations.

Nel campo dell'ingegneria, molti problemi richiedono una fase iniziale di identificazione dei parametri delle equazioni che modellano il comportamento di un sistema. Oltre alla precisione dei risultati, un problema importante in tale processo di identificazione è costituito dalla quantità di tempo e dal costo computazionale associato alla lavorazione dei dati, al fine di ottenere un risultato significativo. La Data Assimilation (DA) è la scienza che si occupa di risolvere questo genere di problemi. Si vuole ottenere una soluzione al problema di identificazione mantenendo minimo il rapporto tra i tempi del processo e l’accuratezza dei risultati. Pertanto, la DA agisce per rimodellare meglio i modelli del sistema o per adattare la procedura di identificazione ai dati raccolti. In particolare, in questo lavoro sono stati studiati l'impatto e l'efficacia dell'applicazione della tecnica di riduzione modello gerarchico con analisi isogeometrica (HigaMOD) sulle applicazioni di Data Assimilation. L'obiettivo centrale è stato quello di analizzare il miglioramento dal punto di vista del costo computazionale degli algoritmi DA, quando il modello del sistema è significativamente ridotto con la tecnica HigaMOD. Lo scopo di questa tesi è quello di estendere la tecnica HigaMOD, ampiamente sfruttata nella soluzione di problemi ellittici, alla soluzione di una equazione differenziale a derivate parziali paraboliche e generalizzare la sua applicazione ai metodi DA. I risultati ottenuti sono stati raggiunti utilizzando problemi bidimensionali di diffusione-trasporto-reazione in diverse configurazioni.