Target plane mapping and collision probability using differential algebra

When a new asteroid is discovered, its state is always known with a limited accuracy within a region termed as confidence region. For a well observed asteroid near the observation epoch this region can be approximated by an ellipsoid. In order to get impact orbits of such body requires mapping the uncertainty till close approach position represented by a Target Plane (TP). For such scenarios fully non-linear Monte-Carlo (MC), method serves as best tool for sampling the subspace, but it is computationally expensive. Semi-linear methods such as Line of Variations (LOV), have been developed to introduce non-linear sampling but they approach the problem by sampling along a line of weakness. This reduces the computational load but misses out on the solutions that lie outside of the region sampled by the line. In this work, a higher order method is proposed based on Differential algebra (DA), to map the non-linearities in n-body motion for TP analysis. DA was introduced in late 80's, to use an algebraic approach for the solution of analytical equations. It was later developed in determining the Taylor expansion of the flow of differential equations in terms of initial conditions. Ever since its introduction in the field of astrodynamics, DA has shown high computational gain over presently available techniques in trajectory design, MOID computation, impact risk assessment, and preliminary orbit determination. Introducing TP mapping is the first step towards its application in the problem of NEO threat identification and mitigation. The first step of DA based approach involves initializing the initial asteroid condition as a DA vector by perturbing it on its components. When initialized as a DA variable, each variable forms a Taylor polynomial of the desired order around the nominal solution. This DA vector when integrated, for any given time gives a Taylor expansion of the final state with respect to the initial state. This can be useful as it requires a single integration to propagate the entire region unlike MC methods. This map is projected onto the TP, which is defined as geocentric plane perpendicular to incoming asymptote of the hyperbola. Using DA based map inversion techniques, it is possible to project the entire region onto the TP. This projected map can be evaluated to obtain the samples from the initial confidence region at the TP. Evaluating these samples across the Earth's cross section can provide us with an estimate of impact probability with similar accuracy as standard MC methods with a significant gain in computational time. In this work 8th order Taylor expansion on fictitious impactors obtained using Apophis data and an actual impactor is used to test the method. The final map is evaluated for 15000 samples to obtain the associated impact probability. The data is then compared with pointwise evaluation of the impact orbits for accuracy analysis. A strong coherence in the data is seen for points selected at random, with a slight drop in accuracy around the tail but still within the admissible tolerances. However the interesting result is obtained in terms of time improvement, where DA turned out to be 3-4 orders of magnitude faster than standard MC. With this low computational cost and high accuracy DA can be a vital tool for the efficient identification of possible threat scenarios.

Quando un nuovo asteroide viene scoperto, il suo stato è sempre noto con una precisione limitata all'interno di una regione definita che si chiama regione di confidenza. Sotto opportune condizioni osservative questa regione può essere approssimata da un ellissoide. Al fine di ottenere delle previsioni di impatto, tale ellissoide deve essere propagato fino all'incontro con la Terra e mappato su un piano opportunamente definito e denominato target plane (TP). Per tale scenario, il metodo Monte-Carlo (MC) è il migliore approccio per il campionamento dell'insieme di incertezza, ma è computazionalmente costoso. Metodi semi-lineari, come il metodo basato sull'utilizzo della Line of Variation (LOV), sono stati sviluppati per eseguire un campionamento nonlineare monodimensionale, limitato ad una linea di indebolimento. Tali approcci riducono il costo computazionale, ma possono perdere accuratezza nella descrizione di soluzioni che si trovano al di fuori della regione campionata sulla linea. Questa tesi propone un metodo di alto ordine, basato sull'utilizzo dell'Algebra Differenziale, per mappare l'incertezza in modo nonlineare sul TP in un modello dinamico ad n corpi. La DA è stata introdotta alla fine degli anni 80 allo scopo di utilizzare un approccio algebrico alla soluzione di equazioni analitiche. è stato poi utilizzato per determinare l'espansione in serie di Taylor del flusso di equazioni differenziali orinarie rispetto alle condizioni iniziali. Fin dalla sua introduzione nel campo dell'astrodinamica, la DA ha mostrato un significativo guadagno computazionale rispetto alle tecniche classiche di progettazone di traiettorie spaziali, calcolo del MOID, valutazione del rischio di impatto, e determinazione orbitale preliminare. Lintroduzione della mappatura sul TP è il primo step per applicare la DA al problema dell'identificazione e mitigazione del rischio di impatto di Near Earth Objects (NEO). Il primo passo dell'approccio DA consiste nell'inizializzare le condizioni iniziali dell'asteroide come un vettore DA perturbandole nelle sue componenti. Quando inizializzata come variabile DA, ogni variabile forma un polinomio di Taylor di ordine desiderato intorno alla soluzione nominale. Una volta propagato per un certo intervallo di tempo, questo vettore DA fornisce un'espansione in serie di Taylor dello stato finale rispetto alle condizioni iniziali. Il vantaggio di tale metodo rispetto ai metodi Monte Carlo consiste quindi nel fatto che l'intera regione di incertezza viene propagata grazie ad una singola integrazione. La mappa polinomiale risultante viene proiettata sul TP, che è definito come il piano geocentrico perpendicolare all'asintoto dell'iperbole entrante. Utilizzando tecniche per l'inversione della mappa polinomiale è possibile proiettare l'intera regione sul piano TP. La mappa proiettata può essere valutata per propagare i campioni dalla regione di confidenza iniziale al TP. Valutando questi campioni lungo la sezione di intersezione con la Terra può fornirci una stima della probabilità di impatto con un'accuratezza simile a quella dei metodi Monte Carlo standard, con un significativo guadagno in termini di tempo computazionale. In questo lavoro, espansioni in serie di Taylor di ordine 8 su casi test ottenuti utilizzando i dati dell'asteroide Apophis e di un impattore sono utilizzati per verificare le prestazioni del metodo. La mappa è valutata su 15000 campioni per ottenere la probabilità di impatto associata. I dati sono quindi confrontati con una propagazione puntuale dei singoli campioni per analizzare l'accuratezza del metodo. I risultati mostrano una ottima accuratezza per punti selezionati mediante una distribuzione casuale, con un sensibile peggioramento dell'accuratezza verso le code che si mantiene comunque all'interno delle tolleranze ammissibili. Tuttavia, il risultato interessante è ottenuto in termini di tempo computazionale: la DA risulta 3-4 ordini di grandezza più veloce dei metodi Monte Carlo standard. Con questo basso costo computazionale e alta accuratezza, la DA può essere uno strumento importante per l'identificazione efficiente di possibili scenari rischiosi.