Investigation of heterogeneity of gas permeability in carbonate rocks

This thesis project is aimed at investigating the heterogeneity of absolute permeability of carbonate rocks. The characterization of the hydrogeological properties has real practical purposes, just think of the oil industry, but has significant complications due to some factors. As may be expected, the associated uncertainty level is very high, therefore, a proper deterministic approach is inadequate. A stochastic approach, which is focused on the statistical properties, however, allows a better representation of the real case study, embedding, also, the uncertainties related to the measures in question. The basis of a stochastic model is based on the identification of the recurring features of the statistical behaviour of 𝑌. Once identified, an analytical model is defined able to represent them to the best. In the present work, an inference method of the parameters of a statistical model, for the interpretation of a set of permeability data, was tested. The first part of the work concerned the acquisition of gas permeability measurements on cm-scale rock specimens carved from carbonate core samples. The use of gas is advantageous in limiting the possible sources of error inherent to the use of liquids, mainly due to a reduced fluid-rock interaction. On the other hand, it has to be considered that the gases have larger compressibility compared to liquids. Hence in this study, permeability values are obtained from a modified formulation of Darcy's Law, i.e. the equation of Scheidegger, consistently with the indications in the literature to treat compressible fluids. The second section is for the presentation of geostatistical model used; in particular, in this context, it is applied to a recently published model, sub-Gaussian type, defined by the product of two functions, a Gaussian and a log-normal subordinator. It results to be a valid unified method to reproduce the behaviour, at different levels of interested scale, typically observed in relation to many hydrogeological and environmental variables. The variables 𝑌 exhibit irregular and asymmetric distributions, very different from those of their spatial increments Δ𝑌, that reveal a symmetrical profile and a trend of peaks and of tails dependent on the separation distance. The probability density functions (pdfs) have been described of both cases with the corresponding statistical moments, and, in addition, the model allows to estimate all the parameters by analysing together the empirical moments of 𝑌 and Δ𝑌. At first, the study of pdfs and after analysis of the variogram allow to fully characterize the two functions that make up the model chosen. The statistical model has proved useful to representative level, i.e. it demonstrated to have a consistent behaviour with the dataset; different inferenced methods, which have led to consistent results between them, have been applied. The main limitation that has been verified is based on the restricted number of data, which did not allow optimal statistical data representation.

Il progetto di tesi ha lo scopo di investigare l’eterogeneità della permeabilità assoluta di rocce carbonatiche. La caratterizzazione di proprietà idrogeologiche ha reali scopi pratici, basti pensare all’industria petrolifera, ma presenta notevoli complicanze dovute a svariati fattori. Come si può prevedere, il livello di incertezza associato risulta essere molto elevato, pertanto, un approccio propriamente deterministico si rivela inadeguato. Un approccio stocastico, ovvero focalizzato sulle statistiche delle proprietà, invece, permette una migliore rappresentazione del reale caso di studio, riuscendo a incorporare, anche, le relative incertezze delle grandezze in esame. La base di un modello stocastico si fonda sull’individuazione delle caratteristiche ricorrenti del comportamento statistico della proprietà 𝑌. Una volta riscontrate, si definisce un modello analitico in grado di rappresentarle al meglio. Nel presente lavoro, è stato testato un metodo di inferenza dei parametri di un modello statistico, per l’interpretazione del dataset di valori di permeabilità. La prima parte del lavoro concerne l’acquisizione delle misurazioni di permeabilità a gas su campioni di roccia dell’ordine del centimetro scavati da blocchi di roccia carbonatica. L’uso del gas è vantaggioso nel limitare le possibili sorgenti di errore che si avrebbero nel caso di liquidi, principalmente grazie alla riduzione delle interazioni fluido-roccia. D’altra parte, si deve tenere presente che i gas hanno una compressibilità maggiore rispetto ai liquidi. Quindi in questo studio, i valori di permeabilità sono ottenuti mediante una formulazione modificata della Legge di Darcy, ovvero l’equazione di Scheidegger, in modo consistente con le indicazioni di letteratura per trattare fluidi comprimibili. La seconda sezione è finalizzata alla presentazione del modello geostatistico utilizzato; in particolare, in questo contesto, viene applicato un modello di recente pubblicazione, di tipo sub-Gaussiano, definito dal prodotto di due funzioni, una Gaussiana e un subordinatore log-normale. Risulta essere un valido metodo unificato per riprodurre i comportamenti, a differenti livelli di scala di interesse, tipicamente osservati in relazione a molte variabili idrogeologiche e ambientali. Le variabili 𝑌 esibiscono distribuzioni irregolari e asimmetriche, ben diverse da quelle dei loro incrementi spaziali Δ𝑌, che rivelano un profilo simmetrico e un andamento dei picchi e delle code dipendente dalla distanza di separazione. Sono state descritte le funzioni di densità di probabilità (pdf) di entrambi i casi con i corrispondenti momenti statistici, e, inoltre, il modello permette di stimare tutti i parametri analizzando assieme i momenti empirici di 𝑌 e Δ𝑌. Dapprima lo studio sulle pdf e in seguito l’analisi del variogramma hanno permesso di caratterizzare pienamente le due funzioni che costituiscono il modello scelto. Il modello statistico si è rivelato utile a livello rappresentativo, ovvero ha dimostrato possedere un comportamento consistente con il dataset; sono stati applicati, inoltre, differenti, metodi di inferenza, i quali hanno portato a risultati consistenti tra loro. Il principale limite che è stato verificato si basa sul numero ristretto di dati, che non ha permesso un’ottimale rappresentazione statistica dei dati.