Reduced-order models for inverse problems and uncertainty quantification in cardiac electrophysiology

The objective of this Thesis is to develop reduced-order models (ROMs) for the efficient and accurate solution of uncertainty quantification (UQ) and inverse problems arising in cardiac electrophysiology. Cardiac models could be affected by a significant amount of uncertainties related to both physical and geometrical parameters, such as inter-subject and intra-subject variability. Developing UQ and inverse techniques is crucial for a personalization of these models: a notable example is the estimation of myocardial ischemia shape and location in a realistic left ventricle, which represents an important application proposed in this work. Inverse and UQ problems involve many queries to input-output maps requiring the solution of a nonlinear parametrized coupled system of ordinary and partial differential equations (PDEs), such as the monodomain equation equipped with ionic models. Prohibitive computational costs occur when full-order models (FOMs), relying e.g. on the finite element method, are adopted for the numerical approximation of the PDEs. In order to reduce the computational complexity, we exploit the reduced basis (RB) method to approximate the parametrized PDE solution, using the proper orthogonal decomposition technique for the basis functions construction and hyper-reduction techniques for the efficient evaluation of nonlinear terms. However, applying state of the art RB method is not straightforward for this application, since the electric potential evolution is characterized by a sharp traveling front highly sensible to changes in the model parameters. In order to recover a rapid and reliable approximation, we develop localized-ROMs based on suitable clustering techniques for the sake of local RB spaces selection. Moreover, since classical error estimators are out of reach in this context, we introduce ad hoc statistical error surrogates for error quantification. This latter ingredient is essential for the solution of inverse problems in order to minimize the propagation of the approximation error, which could lead to biased estimates when a FOM is replaced with a ROM. After providing a detailed analysis and a comparison of these techniques on some suitable numerical tests, we apply the proposed method for sensitivity analysis and uncertainty quantification. In particular, we study how the model parameters affect the electrocardiogram or action-potential shape, providing interesting insights about the role and the importance of cardiac model parameters. Furthermore, we consider filtering techniques for the solution of parameter estimation problems. We develop a reduced-basis state-parameter ensemble Kalman filter and we analyze its consistency and effectivity. This methodology is finally applied to the estimation of myocardial ischemia shape and location on a patient-specific left ventricle.

L’obiettivo di questa Tesi è quello di sviluppare modelli ridotti (ROM) per risolvere in modo efficiente e accurato problemi di quantificazione dell’incertezza e problemi inversi nel campo dell’elettrofisiologia cardiaca. I modelli cardiaci possono presentare un significativo grado di incertezza dovuto sia ai parametri fisici che a quelli geometrici, come ad esempio la variabilità tra soggetti e nel soggetto stesso. Lo sviluppo di tecniche per la soluzione di problemi inversi e di quantificazione dell’incertezza è fondamentale per la personalizzazione di questi modelli: un esempio rilevante, che rappresenta un’importante applicazione proposta in questo lavoro, è quello della stima della forma e della posizione di un’ischemia miocardica in un ventricolo sinistro realistico. I problemi inversi e di quantificazione dell’incertezza comportano molte valutazioni della mappa tra gli input e gli output, che richiedono la soluzione di un sistema parametrico non lineare accoppiato di equazioni differenziali parziali (EDP) e ordinarie, come ad esempio l’equazione monodominio accoppiata con modelli ionici. Risolvere numericamente le EDP con modelli full-order (FOM), come ad esempio un metodo a elementi finiti, comporta costi computazionali proibitivi. Per ridurre la complessità computazionale, sfruttiamo il metodo a basi ridotte (RB) per approssimare la soluzione parametrica dell’EDP, utilizzando tecniche di iper-riduzione per valutare in modo efficiente i termini non lineari. Tuttavia, usare il metodo a basi ridotte non è immediato per questa applicazione, poiché l’evoluzione del potenziale elettrico è caratterizzata da un fronte viaggiante piuttosto ripido che è fortemente sensibile a variazioni nei parametri del modello. Per ottenere un’approssimazione rapida e affidabile, sviluppiamo ROM localizzati basati su tecniche di clustering per la scelta degli spazi RB locali. Inoltre, poiché gli stimatori dell’errore classici non sono applicabili in questo contesto, introduciamo dei modelli surrogati per la quantificazione dell’errore. Quest’ultima aggiunta è fondamentale per la soluzione di problemi inversi, in quanto permette di minimizzare la propagazione dell’errore di approssimazione, che può condurre a stime con bias quando un FOM è sostituito da un ROM. Dopo aver analizzato in dettaglio e aver confrontato queste tecniche su alcuni casi test numerici, applichiamo il metodo proposto all’analisi di sensitività e alla propagazione di incertezza. In particolare, studiamo come i parametri del modello influiscano sull’elettrocardiogramma o sulla forma del potenziale di azione, in modo da agevolare la comprensione del ruolo e dell’importanza dei parametri nei modelli cardiaci. Inoltre, consideriamo tecniche di data-assimilation per la soluzione di problemi di stima dei parametri. Sviluppiamo un filtro di Kalman ridotto e ne analizziamo la consistenza e l’efficacia. Infine, questa metodologia viene applicata alla stima della forma e della posizione di un’ischemia miocardica nel ventricolo sinistro in un caso patient-specific.