Discontinuous Galerkin spectral element methods for the elastodynamics equation on hybrid hexahedral-tetrahedral grids

The study of numerical methods for seismic waves propagation is a very active area of research. Accurate simulations of earthquakes effects can provide helpful informations to seismologists to assess the seismic hazard of a region of interest. Several discretization techniques have been developed for the approximation of the mathematical model based on the elastodynamics equation, such as the finite difference, the spectral element (SE) and the discontinuous Galerkin (DG) methods. In this thesis we consider the combination of SE techniques, that provide low dispersion and dissipation effects, with the flexibility of DG approximation, that allows to suitably tailor the grid size and the polynomial degree to the region of interest. The use of hexahedral elements, at the basis of SE discretization, can be a limitation when complex thin interfaces are involved in the model. Therefore, employing tetrahedral elements can significantly enhance the flexibility of the method, by simplifying the mesh generation procedure. However, when an explicit time integration scheme is considered, SE formulations on tetrahedra can lead to huge efficiency losses, since they involve the inversion of a non diagonal mass matrix at each time step. For these reasons, in this work, a DGSE approach on non-conforming hybrid grids is proposed, where the DG paradigm is not applied element-wise but at the interface between suitable macro-regions. Stability and error analyses for the semi-discrete version of the method are provided. Moreover, the dispersion and dissipation properties of the semi-discrete and the fully-discrete formulations are investigated in a 3D framework. Finally, several numerical tests on both benchmark and real cases are presented and discussed.

Lo studio di metodi numerici per la propagazione di onde sismiche è un'area di ricerca molto attiva. Simulazioni accurate degli effetti dei terremoti sono in grado di fornire informazioni utili ai sismologi per valutare la pericolosità sismica di una regione di interesse. Diverse tecniche di discretizzazione sono state sviluppate per l'approssimazione del modello matematico basato sull'equazione dell'elastodinamica, come le differenze finite, gli elementi spettrali (SE) e i metodi discontinuous Galerkin (DG). In questa tesi consideriamo la combinazione degli SE, che forniscono limitati effetti dispersione e dissipazione, con la flessibilità dell'approssimazione DG, che permette di adattare opportunamente le dimensioni della griglia e il grado polinomiale alla regione di interesse.    L'uso di elementi esagonali, alla base della discretizzazione con SE, può essere un limite quando interfacce sottili e complesse sono coinvolti nel modello. Pertanto, impiegando elementi tetraedrici si può migliorare significativamente la flessibilità del metodo, semplificando la procedura di generazione della griglia. Tuttavia, quando si considera uno schema di integrazione in tempo di tipo esplicito, la formulazione con SE su tetraedri può portare a enormi perdite di efficienza, in quanto comporta l'inversione di una matrice di massa non diagonale ad ogni passo temporale. Per queste ragioni, in questo lavoro, è proposto un approccio DGSE su griglie ibride e non conformi, dove il paradigma DG non viene applicato elemento per elemento, ma all'interfaccia tra opportune macroregioni. Le analisi di stabilità e convergenza sono fornite per la versione semi-discreta del metodo. Inoltre, le proprietà di dispersione e dissipazione dei metodi semi-discreto e totalmente discreto sono studiate nel caso 3D. Infine, numerosi test numerici sia su casi test di validazione che reali sono presentati e discussi.