Assessment of trajectories tracking techniques in high-order semi-Lagrangian methods

The main objective of this thesis is to assess different trajectories tracking techniques in high order semi-Lagrangian methods. The global sub-stepping methods and the McGregor's method for the determination of the departure point in the semi-Lagrangian time discretization were compared in terms of accuracy and efficiency. At first the pure advection equation was considered, and then the complete model of the two dimensional Shallow Water Equations was tested in a case with non uniform bathymetry. In addition to this, a complete validation of the conservative semi-implicit semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin (SISL-DG) method based on the Trapezoidal Rule second order Backward Difference Formula (TR-BDF2) scheme is provided. This validation, in the reference literature, was limited to benchmarks in spherical geometry. Furthermore, the implementation of the method was restricted to meshes distorted in only one of the coordinate directions, while in this thesis it was extended to more general, logically Cartesian, arbitrarily distorted meshes. The ability to handle more complex geometries represents a first step towards a broader spectrum of more realistic low Mach number and low Froude number fluid dynamics applications.

Lo scopo principale di questa tesi è quello di effettuare un confronto tra diverse tecniche di approssimazione delle traiettorie in metodi semi-Lagrangiani di alto ordine. I metodi di sub-stepping globale realizzati con lo schema di Eulero e lo schema di Heun sono stati confrontati con il metodo di McGregor per la determinazione del punto di partenza delle traiettorie nella discretizzazione temporale semi-Lagrangiana. Il confronto in termini di accuratezza e di efficienza computazionale è stato fatto dapprima sulla equazione di pura avvezione e successivamente sul modello completo di Equazioni alle Acque Basse bidimensionali. La tesi propone anche una completa validazione del metodo di discretizzazione noto in letteratura come "semi-implicit semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin" (SISL-DG), nella sua versione conservativa, basato sullo schema numerico "Trapezoidal Rule second order Backward Difference Formula" (TR-BDF2). In letteratura, questa validazione era limitata a classici casi test in geometria sferica. Inoltre, il metodo numerico era limitato all'uso di mesh computazionali distorte solo in una delle coordinate, mentre in questa tesi è stata esteso all'uso di mesh più generali, logicamente Cartesiane e distorte in modo arbitrario. La possibilità di gestire geometrie più complesse rappresenta un passo in avanti verso la realizzazione di un ampio spettro di realistiche applicazioni fluidodinamiche per flussi a basso numero di Mach e basso numero di Froude.