Simple compatible homogenisation strategies. Application to unreinforced and FRCM reinforced masonry structures in and out of plane loaded

Masonry is a composite material constituted by bricks (or blocks) joined by mortar. The variability of the masonry bond (or arrangement of the bricks), the shape and dimension of the bricks, as well as the quasi-fragile behaviour of the constituent materials, make the analysis of masonry still a challenging task. In the last thirty years the qualitative understanding of the masonry, reinforced and unreinforced, mechanical behaviour has grown thanks to the contribution of experimental and numerical research. At present two types of numerical approaches are widely used in the literature for masonry modelling: They are called in the specialized literature as micro and macro- modelling. Micro-modelling is considered the most accurate technique for the simulation of heterogeneous inelastic media, because bricks and mortar joints are modelled separately. On the other side, macro-modelling doesn't make any distinction between units and mortar joints and uses equivalent homogeneous mechanical properties to describe masonry behaviour. A compromise between the aforementioned two approaches is represented by homogenisation. Homogenisation consists in extracting a Representative Element of Volume (REV) that generates the whole structure by repetition, in solving a boundary value problem on the REV and in substituting the assemblage of bricks and mortar at a structural level with a fictitious orthotropic equivalent material. In the present thesis, two simplified homogenisation two step procedures are proposed for the analyses of masonry structures in and out of plane loaded. In particular, two slightly different approaches are discussed. The first (Model I) translates the mechanical problem into mathematics by means of a small scale system of non-linear equations, which is solved with standard general purpose algorithms. The second (Model II) is a semi-analytical two variables procedure. In both models, the unit cell is meshed by means of 24 triangular constant stress (CST) plane stress elements (bricks) and linear interfaces for mortar joints. Triangular elements are assumed linear elastic, whereas the mechanical response of the interface elements is modelled by means of different holonomic laws including two dominant failure modes, namely cracking (mode I) and shear (mode II) or a combination of two (mixed mode). Such cohesive relationships are characterized by a post-peak softening branch, with possible coupling between normal and shear relationships. The structural analyses are performed via the implementation of the homogenised stress-strain relationships into a FE code dealing with softening materials using a rigid element approach (RBSM) where contiguous rigid elements are connected by shear and normal non-linear homogenised springs. In the thesis, it has been labelled has HRBSM to stress the meso-scale homogenisation step. The main advantage of such procedure is that meso- and macro-scale are fully decoupled, while the disadvantage is the intrinsic mesh dependence of the results in case of global softening. The outcomes provided by the homogenisation are benchmarked in the elastic field considering several closed form expressions available in literature and then, using FEs. To this scope, the mechanical properties of both bricks and mortar joints are assumed varying in a range of technical applicability. The models are then extended to the non linear field assuming two different holonomic laws for the description of the normal and tangential responses of the inelastic interfaces. To evaluate the results provided by the proposed approaches two masonry running bond textures are considered namely a stretcher bond and header bond patterns. At structural level, a variety of different problems, for which experimental and numerical data are available in the literature, are considered. The models (Model I and Model II) demonstrated to accurately capture the global behaviour of in plane loaded masonry structures as well as to suitable describe the failure mechanisms with a limited computational effort. An extension of the procedure proposed to deals with the application of FRCM reinforcements on a masonry wall tested in diagonal compression is proposed.. The masonry panel, for which extensive experimental data are available from the literature, is modelled using the simplified homogenisation procedure and a sophisticated 3D micro modelling heterogeneous approach. The reinforcement, which is constituted by two distinct materials, is simulated by means of two numerical strategies with increasing level of accuracy. The two step homogenisation procedure is then extended to out of plane loaded masonry structures by a simple on thickness integration. In this framework, starting from the homogenised stress-strain curves, the moment-curvature relationships are evaluated. The RBSM model is then modified in order to allow the description of flexure behaviours, horizontal and vertical, as well as torsion. Similarly to the in plane case, the identification of the mechanical parameters is performed via an energetic equivalence. The proposed out of plane approach is benchmarked studying some panels under two ways bending, for which experimental data are available in literature. In order to evaluate the capability of the proposed model for the analyses of different out of plane failure mechanisms, several masonry panels characterized by different geometries, boundary conditions as well as various pre-compression loads are considered. In all cases, a satisfactory agreement between the experimental and numerical results is found. The last part of the thesis is focused on the seismic analysis of masonry building subjected to earthquakes using the proposed homogenisation model. In particular, a church façade modelled with a portion of the perpendicular walls and a tridimensional building prototype are studied under non linear dynamic excitations by means of the proposed homogenisation model. Very good agreement is found between present results and existing literature data (both experimental and numerical) meaning that the procedure discussed in the thesis may be of practical interest in the non-linear dynamic range.

La muratura è un materiale composito costituito tipicamente da due materiali (mattoni e giunti di malta) con caratteristiche meccaniche molto differenti. La variabilità dei materiali costituenti e delle loro proprietà meccaniche, così come le dimensioni dei mattoni e dei giunti di malta rendono l’analisi delle strutture in muratura un compito piuttosto arduo. Negli ultimi trent’anni lo studio del comportamento meccanico delle murature non rinforzate e rinforzate ha subito un notevole incremento grazie soprattutto a numerosi contributi di natura sperimentale e numerica. Nella letteratura tecnica, per modellare le murature vengono adottati principalmente due approcci numerici: la micro-modellazione e la macro-modellazione. La prima strategia numerica è considerata la più accurata soprattutto nel caso di supporti eterogenei, in quanto i materiali costituenti sono simulati separatamente. Al contrario, la seconda tecnica non distingue tra mattoni e giunti di malta e il comportamento della muratura è caratterizzato da proprietà meccaniche omogenizzate equivalenti. Le tecniche di omogeneizzazione rappresentano un compromesso tra i due approcci precedentemente descritti. Infatti, esse consistono principalmente nella definizione di un Elemento di Volume Rappresentativo (anche detto REV). La struttura finale che deve essere analizzata è ottenuta mediante semplice ripetizione dell’elemento di volume. Alla fine dell’analisi il supporto murario è sostituito da un materiale ortotropo fittizio con proprietà meccaniche equivalenti. Nella presente tesi, sono proposti due modelli semplificati di omogeneizzazione per l’analisi di murature caricate sia nel piano che fuori piano. I modelli sono sviluppati mediante due approcci leggermente diversi, il primo (Modello I) traduce il problema meccanico in un sistema di poche equazioni non lineari. Il secondo modello (Modello II) è rappresentato da una procedura a due variabili semi-analitica. In entrambi i modelli, i mattoni costituenti la cella elementare sono discretizzati mediante 24 elementi piani triangolari elastici (CST) mentre i giunti di malta sono sostituiti da interfacce non lineari. Il comportamento meccanico delle interfacce è modellato adottando due leggi olonome differenti per descrivere sia la rottura a trazione (modo I) che quella per taglio (modo II) o una combinazione delle due. Le leggi adottate a livello delle interfacce sono caratterizzate da un tratto inizialmente lineare o quasi lineare fino al raggiungimento della tensione di picco e successivamente da un tratto discendente. Le analisi strutturali sono state condotte implementando le caratteristiche meccaniche omogenizzate in un software FEM commerciale con un approccio ad elementi rigidi (RBSM). Tale strategia consiste nella sostituzione del materiale ortotropo omogenizzato con elementi rigidi quadrilateri interconnessi da molle assiali e tangenziali equivalenti. L’aspetto maggiormente vantaggioso di tale procedura è rappresentato dal disaccoppiamento delle analisi condotte a livello della cella elementare e sulla struttura finale. I risultati ottenuti in campo elastico a livello della cella elementare sono stati verificati mediante l’utilizzo di alcune delle più famose espressioni algebriche disponibili in letteratura. Un’ulteriore verifica è stata condotta, sempre in campo elastico, mediante l’utilizzo di un programma ad Elementi Finiti. Dopo aver accertato l’accuratezza dei due modelli proposti in fase elastica, la procedura è stata estesa al campo non lineare. Tale estensione ha richiesto l’adozione di due leggi olonome per descrivere il comportamento normale e tangenziale delle interfacce. Anche in questo caso, i risultati ottenuti con i due modelli di omogeneizzazione sono stati controllati adottando due diversi tipi di supporto murario. Le analisi strutturali sono invece state condotte considerando vari casi studio di strutture caricate nel piano per le quali erano disponibili numerosi dati sia sperimentali che numerici. Globalmente i modelli proposti sono riusciti a descrivere sia il comportamento globale delle strutture in esame che i meccanismi di collasso con un costo computazionale piuttosto ridotto. L’utilizzo di tali modelli di omogeneizzazione può risultare particolarmente vantaggioso quando si vogliono analizzare murature rinforzate con materiali innovativi. A tale proposito, nella tesi viene mostrata una possibile estensione del modello per l’analisi di supporti rinforzati con materiali a matrice cementizia (FRCM). L’accuratezza dei risultati ottenuti con il modello di omogeneizzazione proposto è stata ulteriormente accertata mediante l’utilizzo di un approccio numerico eterogeneo. Il rinforzo è stato modellato adottando due strategie numeriche caratterizzate da diversi livelli di accuratezza. La procedura di omogeneizzazione a due passi, proposta nella presente tesi è stata quindi estesa alle murature caricate fuori dal piano. Le curve momento-curvatura omogenizzate sono state ottenute attraverso un’integrazione sullo spessore delle curve omogenizzate a livello della cella elementare. Anche il modello ad elementi rigidi è stato modificato per consentire l’inserimento di molle flessionali e torsionali. Le caratteristiche meccaniche di tali elementi sono state identificate in maniera simile al caso piano, mediante equivalenza energetica. Anche in questo caso, i risultati sono stati validati considerando una serie di pannelli caricati fuori piano. Il vantaggio di questa campagna sperimentale è rappresentato dal fatto che gli autori hanno fatto variare alcuni parametri di riferimento valutando in tal modo gli effetti sulle strutture. I parametri considerati sono stati: differenti geometrie, condizioni di vincolo e diversi livelli del carico di precompressione iniziale. Tali aspetti sono stati considerati anche nelle presenti analisi numeriche, che hanno mostrato come il modello proposto sia in grado di fornire accurati risultati per ognuno dei pannelli testati. L’ultimo capitolo della tesi è dedicato all’analisi sismica di costruzioni in muratura soggette ad analisi dinamiche non lineari. A tale scopo, due casi studio sono stati analizzati con l’approccio proposto: (i) la facciata della Chiesa della Trasfigurazione a Moggio Udinese (distrutta durante il sisma del 1976) e (ii) un prototipo in scala di un edificio a due piani in muratura. Le analisi dinamiche condotte sono state eseguite applicando una sola componente di un accelerogramma alla base della costruzione e monitorando gli spostamenti durante le analisi. I risultati numerici ottenuti concordano in maniera soddisfacente con quelli a disposizione.