Modeling nonlinear 3-terminal devices in the wave digital domain

Thanks to their inherent stability and robustness, Wave Digital Structures (WDSs) are quite interesting for applications of Virtual Analog interactive modeling of nonlinear audio circuits. Many nonlinear circuits, however, include multiple nonlinearities or multi-port nonlinearities, which cannot readily be accommodated by traditional WDS. Until now some multi-port models of 3-terminal nonlinear devices have been presented in the Wave Digital Filter (WDF) literature, but they are specific models suitable only for certain circuit topologies. This means that different topologies require $ad$ $hoc$ models. A further issue in modeling multi-port nonlinear elements is the resolution of implicit equations that relate the port variables. In this thesis we present an approach for modeling circuits containing arbitrary linear or nonlinear 3-terminal devices in the Wave Digital domain. Such an approach leads us to the definition of a general 6-port model for 3-terminal devices. In fact, the Wave Digital models of 3-terminal devices already discussed in the literature can be considered as particular cases of the one presented in this thesis. The proposed approach fulfills all the basic principles of WDFs, such as modularity and a low computational complexity, and avoids, as far as possible, implicit relations between the port variables. We will focus on the Wave Digital models of the 3 most spread types of transistors in audio circuitry: the MOSFET, the JFET and the BJT. MOSFET and JFET models result into third order equations to solve; therefore, closed form wave scattering relations are obtained. Instead, the BJT model is characterized by transcendental equations which cannot be solved in closed form; consequently, we studied iterative methods for finding the solutions. The existing iterative methods based on the Newton's Method do not satisfy all the requirements of robustness and efficiency typical of audio Virtual Analog applications. For this reason, we developed a modified Newton's method that exhibits significantly higher robustness without compromising the efficiency of the traditional Newton's Method. Tests with one-dimension and multi-variate exponential functions and studies on the modified Newton's algorithm are provided, the convergence issues are investigated both from the theoretical and the numerical standpoint. In general, the proposed Modified Newton's Method eliminates the dependence of the convergence from the initial guesses. The method converges for any random initial guess and any random incident wave within reasonable ranges that are given by the actual implemented circuits. All the presented models are tested in suitable examples of applications.

Grazie alla loro stabilità intrinseca e alla loro robustezza le Strutture d'Onda Numeriche sono piuttosto interessanti per applicazioni audio interattive che modellizzano circuiti non lineari, in particolare per applicazioni di modellizzazione Virtual Analog. Molti circuiti non lineari, tuttavia, includono più non linearità o non linearità multiporta che non possono essere facilmente implementate nelle tradizionali Strutture d'Onda Numeriche. Finora alcuni modelli multiporta di dispositivi non lineari a 3 terminali sono stati presentati nella letteratura dei Filtri d'Onda Numerici, ma essi sono modelli specifici utilizzabili solo in alcune topologie circuitali. Ciò significa che topologie differenti richiedono modelli differenti. Un ulteriore problema nella modellizzazione di elementi non lineari multiporta è la risoluzione delle equazioni implicite che mettono in relazione le variabili di porta. In questa tesi presentiamo un approccio per modellizzare circuiti con dispositivi lineari o non lineari a tre terminali nel dominio dei Filtri d'Onda Numerici. Tale approccio porta alla definizione di un modello generale a 6 porte per dispositivi a 3 terminali. Infatti, i modelli dei dispositivi a 3 terminali presenti in letteratura possono essere considerati dei casi particolari del modello generale presentato in questa tesi. L'approccio proposto soddisfa tutti i principi fondamentali dei Filtri d'Onda Numerici, come ad esempio la modularità e una bassa complessità computazionale, ed evita, quando possibile, relazioni implicite tra le variabili di porta. Focalizzeremo l'attenzione sui modelli dei transistor più diffusi in circuiti dedicati all'audio: il MOSFET, il JFET e BJT. I modelli del MOSFET e del JFET portano alla risoluzione di equazioni di terzo grado, otteniamo quindi relazioni di scattering in forma chiusa. Il modello del BJT è invece caratterizzato da equazioni trascendenti che non possono essere risolte in forma chiusa, abbiamo di conseguenza studiato metodi iterativi per trovare le soluzioni. I metodi già esistenti basati sul metodo di Newton non soddisfano tutti i requisiti di robustezza e efficienza tipici delle applicazioni Virtual Analog. Per questo motivo abbiamo sviluppato una variante del metodo di Newton che presenta una robustezza significativamente maggiore rispetto al metodo di Newton tradizionale, senza però comprometterne l'efficienza. Su questa variante sono stati effettuati studi e diversi test con funzioni esponenziali in una o più dimensioni, i problemi di convergenza sono stati analizzati sia da un di vista teorico che da un punto di vista numerico. In generale, la variante proposta del metodo di Newton elimina la dipendenza della convergenza dalle ipotesi iniziali sul punto di partenza. Il metodo converge per qualsiasi punto di partenza e qualsiasi onda incidente, presi in modo casuale entro dei ragionevoli intervalli di valori per i circuiti implementati. Tutti i modelli presentati sono stati testati e implementati in appositi esempi di applicazione.